英文字母的對稱性

其實世界上很多字母文字的字母元素，都具有良好的對稱性，那英文字母自然是其中最廣泛使用的典型代表。因為英文字母存在大小寫以及書寫方式不同導緻的區别。為了方便，我們僅僅區分明顯的大小寫的差别，對于不同字體的區别，我們隻要能找到一種較通用字體是對稱的，那我們就認其是對稱的。這主要是為了簡化問題，比如，t字母在一些字體裡面是沒有下面的彎鈎，是左右對稱的，甚至看成一個十字架也是上下和中心對稱的，f在一些字體和手寫體裡，是中心對稱的；而哪怕z，x這種正體看上去明顯對稱的字母，你換個花裡胡哨的字體也能搞不對稱了。

不繞彎子了，英文字母的對稱性總結在下面的表中：

表1 英文字母對稱性

注意凡是互為對稱的兩個圖形，由于是組合，僅按字母序用一個排列來代表它，省略另一個。

說其中比較有趣的幾個發現。其中b的上下軸對稱結果是p，左右是d，再上下是q，也就是說整個4個字母合在一起可以構成一個D2，或者叫Klein-4群。要說這些字母在設計寫法之初沒有考慮過它們在種種操作下的關系，我是不信的。

其中部分字母是集中心，上下左右對稱于一身的，這些大多符合D2群，小寫的包括l，o，s，t，x，大寫的僅有O，X，他們可謂是對稱字母的集大成者了。而f，sS，zZ，N隻是純的中心對稱，并沒有兩個軸對稱性，僅是個旋轉180度重合的C2群的對稱。但神奇的是，這兩個軸對稱得到的圖形卻是一樣的，是一個沿着兩個不同方向鏡像，甚至都不再是字母了。而兩個軸之間相差一個中心對稱的180度旋轉，而因為字母本身是中心對稱的，所以得到的圖形又一樣了。而阿拉伯數字中，3則是左右軸對稱和中心對稱的結果一樣，也都不是數字，自身卻是上下軸對稱的。這些微妙的區别和聯系，都是圖形背後的數學結構的結果。

n和u去看那個彎彎突出所在地的話，會發現他們嚴格來講隻是互為中心對稱關系；忽略掉彎彎，也就是把其本身當成一個左右軸對稱圖形來看，那就也互為上下的軸對稱了。其實忽略那個彎彎，n就是并集符号了，上下對稱或中心對稱就成了交集符号，這倒是和大寫的U長得幾乎一模一樣了。m和w之間也是類似的關系，他們的大寫的時候就是近似的同時中心和上下軸對稱了（同樣源于自身就是左右軸對稱的），而大寫的N變成了一個自身的中心對稱圖形，進入另一個世界了。

還有，a和e在書寫體上是比較别扭的互為中心對稱圖形的，這在馬丁加德納先生關于文字對稱的論述中數次提到。

英文單詞的對稱性

在研究字母和數字的對稱時，和漢字稍有不同在于，我們比較在乎由其組合出來的單詞或者進制數的整體對稱性，漢字的也能研究，不過因為單個漢字的對稱的已經比較多了，就相對沒有這麼重點；而數字的組合相對少，文化意義也不如字母。

那字母序列的對稱性和單個字母之間的對稱性是什麼關系呢？其實這相當于把一系列本身存在對稱性質的圖形組合成新圖形的過程，對稱性如何保持甚至擴展，是有章可循的。我們分類來看，對字母序列Sn（默認指的都是水平空間排布的序列，其下一個關系，對應空間中的相對靠右），一共有以下幾種：

序列的中心對稱性：

要求Center(S_i) = S_(n 1 - i)，對任意的1 <= i <= n成立。也就是，前後兩兩配對的字母要剛好互為中心對稱圖形。如果n長度為奇數，那麼存在的正中間的圖形則要求自身是一個中心對稱圖形。

序列的左右軸對稱性：

要求axial(S_i) = S_(n 1 - i)，對任意的1 <= i <= n成立。它和序列中心對稱從群的角度來講都是C2群，是一模一樣的結構，隻是具體的操作一個是軸對稱，一個是旋轉180度。故同樣n為奇數時，正中間位置自身為軸對稱圖形，具有軸對稱不變性。

回文序列（palindrome）：

S_i = S_(n 1 - i)，對任意的1 <= i <= n成立。注意這裡在圖形上已經沒有了鏡像對稱的效果，也不要求每個字母有任何的對稱性，其鏡像是在一個抽象序列符号上去滿足的。比較典型的有比如，"Able was I ere I saw Elba"，"A man, a plan, a canal – Panama"，"Madam, I'm Adam" and "Never odd or even"。

序列的上下對稱性：

horizantol_axial(S_i) = S_i，對任意的1 <= i <= n成立。這個對稱性和單個字母的對稱性相同，因為相當于把一串本身軸對稱的字母讓它們對稱軸重合的方式組合成了新的圖形。

如果是豎着寫的文字，其實以上分析剛好有對偶的性質，對中心對稱而言是對稱的，完全相同；而水平文字的左右的軸對稱對應豎着的上下軸對稱，而且要求的字母也是上下軸對稱；水平的上下的軸對稱變成了豎着的左右的軸對稱，每個字母同樣滿足左右軸對稱；回文的話本質是序列對稱，不涉及圖形實體，故沒有區别。

其實這些都是在正常書寫範圍之内的，如果把字體寫得誇張一點，添加一些怪異的組合拼接，比如r n = m這類奇怪的trick，幾乎可以做到所有單詞都有辦法對稱化的結局。在2020線上的馬丁加德納聚會的标志中，我第一次注意到了精美的藝術字設計：

圖1 Martin Gardner中心對稱圖案設計

一開始覺得又美又奇怪，美是覺得形式比較規整，有特殊考慮，而奇怪是覺得，這些字母的形态看上去又都不太正常，仿佛刻意為之。直到我把手機倒轉過來，發現了完全不變的結果時，我才意識到，原來真的有這樣完美的中心對稱的藝術單詞設計的存在！

後來，在馬丁加德納全書的《跳棋遊戲與非歐幾何斯科特金對稱作品》中，了解到了這方面的設計大師斯科特金，他是一個幾乎可以把任何對稱或不對稱的單詞拼湊成對稱模樣的天才。在書裡，我還發現了一些有趣的案例，比如New和maN的中心對稱性，沒錯，a和e的書寫體是約摸互為中心對稱的，并且為了湊齊對稱性在大小寫上是随意拼湊的，像極了為了詩詞押韻添加的各種意象；還有VISTA标志的中心對稱性，有點牽強；那ZOONOOZ這個标識就很标準了，還有NISSIN等等。這些都對應的是中心對稱，還有一系列軸對稱的例子，包括上下和左右：比如minimum，這拐彎抹角的密密麻麻一對豎線，完全可以塗畫改良一下以後當左右軸對稱，還有我工作的地方T.I.T也呈現着完美的對稱；而上下軸對稱，更多的隻需要把字母豎着寫，那每個字母都是軸對稱的就可以了，比如TOYOTA。

于是，我從網上下載了一個常用單詞詞典，把上述表格裡的所有對稱關系記錄進去，然後搜索出來了所有形式的對稱單詞的結果。你們猜有多少？有很多這樣的單詞嗎？（單個字母不算）

還真沒有多少，哪怕算上大小寫混用的，中心對稱的單詞也僅有：pHd，dip，NoN以及NooN，這裡還隻有dip一個冷門的全小寫的單詞，不過憑腦袋又想起一個全大寫的SOS。而左右軸對稱的，有mom，nan，mam，non，nun，rotor，noon，aha，anna，mum，可見mn這兩個字母對英文單詞對稱性的作用有多大；而如果隻要求是回文字母序列，不要求字母本身的圖案對稱相同，還有gig，madam，radar，deed，civic，eve，pop，bob，refer，dad，eye，level，這是抽象意義上的字母對稱相等，而沒有圖形意義。那有上下軸對稱的，則就有點多了，比如EBB，coBBlED，cHIC，等等；如果是豎着寫，豎直對稱軸，則隻要求字母本身是個軸對稱圖形，就更多了，比如HAunt，tonAl，tAwnY等等，而水平對稱軸的話，等價于前面水平寫的豎直軸對稱情況，有DID，BOB，DEED，其他的中心對稱和回文則沒有區别。

還有一類是兩個單詞之間的水平數值翻折或者旋轉180度以後對應到新單詞的關系，這裡留給同學們自己寫代碼去找，我偷個懶先略過了。

結語

其實，除了英文字母外，還有很多符号圖案充滿着對稱的元素。比如撲克牌的花色圖案的高度對稱性；國際音标裡ae這個因就是a和e組合起來的中心對稱圖形；以及字母和數字組合對稱等等。有些并沒法直接用程序批量生産，就像斯科特金的作品一樣，需要根據需求加上一些字體變形來進行藝術創造。而每個魔術也都是獨立的有生命力的個體，它們喜歡吸收這些養分來讓自己變得神奇。

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原标題：文字對稱中的數學與魔術（二）——英文字母到單詞的對稱性

來源:MatheMagician

編輯：TT

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