基礎題

知識點1　命題的定義及結構

1．下列語句中，是命題的是(A)

①若∠1＝60°，∠2＝60°，則∠1＝∠2；②同位角相等嗎？③畫線段AB＝CD；④如果a>b，b>c，那麼a>c；⑤直角都相等．

A．①④⑤ B．①②④

C．①②⑤ D．②③④⑤

2．把“垂直于同一條直線的兩條直線平行”改寫成“如果……那麼……”的形式是如果兩條直線垂直于同一條直線，那麼這兩條直線平行．

3．把下列命題改寫成“如果……那麼……”的形式，并分别指出它們的題設和結論：

(1)兩點确定一條直線；

(2)同角的補角相等；

(3)兩個銳角互餘．

解：(1)如果在平面上有兩個點，那麼過這兩個點能确定一條直線．

題設：在平面上有兩個點；結論：過這兩個點能确定一條直線．

(2)如果兩個角是同角的補角，那麼它們相等．

題設：兩個角是同角的補角；結論：這兩個角相等．

(3)如果兩個角是銳角，那麼這兩個角互餘．

題設：兩個角是銳角；結論：這兩個角互餘．

知識點2　真假命題及其證明

4．下列說法錯誤的是(C)

A．命題不一定是定理，定理一定是命題

B．定理不可能是假命題

C．真命題是定理

D．如果真命題的正确性是經過推理證實的，這樣得到的真命題就是定理

5．下列命題：①若|a|＞|b|，那麼a2＞b2；②兩點之間，線段最短；③對頂角相等；④内錯角相等．其中真命題的個數是(C)

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

6．下列命題中，是假命題的是(A)

A．相等的角是對頂角

B．垂線段最短

C．同一平面内，兩條直線的位置關系隻有相交和平行兩種

D．兩點确定一條直線

7．(巨野縣期末)判斷下列命題的真假，是假命題的舉出反例．

①兩個銳角的和是鈍角；

②一個角的補角大于這個角；

③不相等的角不是對頂角．

解：①假命題．反例為：30°與40°的和為70°.

②假命題．反例為：120°的補角為60°.

③真命題．

8．如圖，BD平分∠ABC，若∠BCD＝70°，∠ABD＝55°.求證：CD∥AB.

證明：∵BD平分∠ABC，∠ABD＝55°，

∴∠ABC＝2∠ABD＝110°.

又∵∠BCD＝70°，

∴∠ABC＋∠BCD＝180°.

∴CD∥AB.

9．把下列命題寫成“如果……那麼……”的形式，并判斷其真假．

(1)等角的補角相等；

(2)不相等的角不是對頂角；

(3)相等的角是内錯角．

解：(1)如果兩個角是兩個相等的角的補角，那麼這兩個角相等．是真命題．

(2)如果兩個角不相等，那麼這兩個角不是對頂角．是真命題．

(3)如果兩個角相等，那麼這兩個角是内錯角．是假命題．

中檔題

10．下列說法正确的是(C)

A．“作線段CD＝AB”是一個命題

B．過一點作已知直線的平行線有一條且隻有一條

C．命題“若x＝1，則x2＝1”是真命題

D．所含字母相同的項是同類項

11．下列命題中，是真命題的是(B)

A．若|x|＝2，則x＝2

B．平行于同一條直線的兩條直線平行

C．一個銳角與一個鈍角的和等于一個平角

D．任何一個角都比它的補角小

12．(大慶中考)如圖，從①∠1＝∠2；②∠C＝∠D；③∠A＝∠F三個條件中選出兩個作為已知條件，另一個作為結論所組成的命題中，正确命題的個數為(D)

A．0

B．1

C．2

D．3

13．“直角都相等”的題設是兩個角是直角，結論是這兩個角相等．

14．對于下列假命題，各舉一個反例寫在橫線上．

(1)“如果ac＝bc，那麼a＝b”是一個假命題．

反例：3×0＝(－2)×0；

(2)“如果a2＝b2，則a＝b”是一個假命題．

反例：32＝(－3)2.

15．命題“兩直線平行，内錯角的平分線互相平行”是真命題嗎？如果是，請給出證明；如果不是，請舉出反例．

解：是真命題，證明如下：

已知：AB∥CD，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD.求證：BE∥CF.

證明：∵AB∥CD，

∴∠ABC＝∠BCD.

∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的角平分線，

∴∠2＝∠ABC，∠3＝∠BCD.

∴∠2＝∠3.∴BE∥CF.

16．小明到工廠去進行社會實踐活動時，發現工人師傅生産了一種如圖所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE＝35°，∠AED＝90°.小明發現工人師傅隻是量出∠BAE＝35°，∠AED＝90°後，又量了∠EDC＝55°，于是他就說AB與CD肯定是平行的，你知道什麼原因嗎？

解：過點E作EF∥AB.

∵EF∥AB，

∴∠AEF＝∠BAE.

∵∠BAE＝35°，∴∠AEF＝35°.

∵∠AED＝90°，

∴∠DEF＝∠AED－∠AEF＝90°－35°＝55°.

∵∠EDC＝55°，

∴∠EDC＝∠DEF.

∴EF∥CD.

∴AB∥CD.

17．(姜堰市期末)如圖，直線AB和直線CD，直線BE和直線CF都被直線BC所截．在下面三個條件中，請你選擇其中兩個作為題設，剩下的一個作為結論，組成一個真命題并證明．①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.

解：答案不唯一，如：

已知：如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，BE∥CF.

求證：∠1＝∠2.

證明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴AB∥CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.

又∵BE∥CF，∴∠EBC＝∠FCB.

∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠FCB，

即∠1＝∠2.

18．(鄄城縣期末)已知：如圖，C，D是直線AB上兩點，∠1＋∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB.

(1)求證：CE∥DF；

(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度數．

解：(1)證明：∵C，D是直線AB上兩點，

∴∠1＋∠DCE＝180°.

∵∠1＋∠2＝180°，

∴∠2＝∠DCE.

∴CE∥DF.

(2)∵CE∥DF，∠DCE＝130°，

∴∠CDF＝180°－∠DCE＝180°－130°＝50°.

∵DE平分∠CDF，∴∠CDE＝∠CDF＝25°.

∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠CDE＝25°.

綜合題

19．閱讀下列問題後做出相應的解答．

“同位角相等，兩直線平行”和“兩直線平行，同位角相等”這兩個命題的題設和結論在命題中的位置恰好對調，我們把其中一個命題叫做另一個命題的逆命題．

請你寫出命題“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”的逆命題，并指出逆命題的題設和結論．

解：逆命題：在角的内部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．

題設：在角的内部到角兩邊距離相等的點；

結論：點在這個角的平分線上．

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