微積分入門基本公式筆記-tft每日頭條

微積分入門基本公式筆記

生活更新时间:2024-07-22 07:11:00

極坐标系的二重積分

考慮之前的例子：

微積分入門基本公式筆記（五分鐘MIT公開課-多元微積分）1

這個函數的積分域為四分之一個圓

微積分入門基本公式筆記（五分鐘MIT公開課-多元微積分）2

在直角坐标系下，計算這個積分并不容易，三角換元是已知的唯一解法。

可以用極坐标代替直角坐标。

先回顧下直角坐标系下的二重積分，積分結果幾何上為積分函數和積分區域所圍成的體積。積分區域可以無限劃分為更小的區域。

微積分入門基本公式筆記（五分鐘MIT公開課-多元微積分）3

極坐标下，二元函數的幾何意義是相同的，即二元函數與定義域圍成的體積。

微積分入門基本公式筆記（五分鐘MIT公開課-多元微積分）4

将定義域直角坐标系的x和y分别替換成對應極坐标系的 r 和 theta，同理，定義域可以細分為無數的小塊，先來計算每個小區域的面積。

微積分入門基本公式筆記（五分鐘MIT公開課-多元微積分）5

微積分入門基本公式筆記（五分鐘MIT公開課-多元微積分）6

注意不是：

微積分入門基本公式筆記（五分鐘MIT公開課-多元微積分）7

當面積足夠小時；

微積分入門基本公式筆記（五分鐘MIT公開課-多元微積分）8

再來看看被積分的函數：

微積分入門基本公式筆記（五分鐘MIT公開課-多元微積分）9

由于有直角坐标系和極坐标系的轉換公式：

微積分入門基本公式筆記（五分鐘MIT公開課-多元微積分）10

得到最後極坐标下的積分公式：

微積分入門基本公式筆記（五分鐘MIT公開課-多元微積分）11

内積分：

微積分入門基本公式筆記（五分鐘MIT公開課-多元微積分）12

外積分：

微積分入門基本公式筆記（五分鐘MIT公開課-多元微積分）13

這個例子是幸運的，當從直角坐标系變換的極坐标的時候

積分區域更加簡單
積分對象更加簡單

但是一般來說，這種轉換總會有犧牲的。

積分區域不确定，大部分情況下，首先給定角度，對r做積分
積分對象變複雜，因為引入了三角函數

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