書接上回，機械設計常用的數學公式彙總之平面三角公式，值得收藏。話不多說，請往下看是不是有漏掉的。

1、三角函數的定義

2、任意角三角函數誘導公式

常用的誘導公式有以下幾組：

公式一：

設α 為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：

sin （2kπ＋α）＝ sin α

cos（2kπ＋α）＝ cosα

tan （2kπ＋α）＝ tan α

cot （2kπ＋α）＝ cot α

公式二：

設α 為任意角， π α 的三角函數值與α 的三角函數值之間的關系：

sin （π＋α）＝－ sin α

cos（π＋α）＝－ cosα

tan （π＋α）＝ tan α

cot （π＋α）＝ cot α

公式三：

任意角α 與 - α 的三角函數值之間的關系：

sin （－ α）＝－ sin α

cos（－ α）＝cosα

tan （－ α）＝－ tan α

cot （－ α）＝－ cot α

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π- α 與α 的三角函數值之間的關系：

sin （π－α）＝ sin α

cos（π－α）＝－ cosα

tan （π－α）＝－ tan α

cot （π－α）＝－ cot α

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π- α 與α 的三角函數值之間的關系：

sin （2π－α）＝－ sin α

cos（2π－α）＝cosα

tan （2π－α）＝－ tan α

cot （2π－α）＝－ cot α

公式六：

π/2 ±α 與α 的三角函數值之間的關系：

sin （π/2 ＋α）＝ cosα

cos（π/2 ＋α）＝－ sin α

tan （π/2 ＋α）＝－ cot α

cot （π/2 ＋α）＝－ tan α

sin （π/2 －α）＝ cosα

cos（π/2 －α）＝ sin α

tan （π/2 －α）＝ cot α

cot （π/2 －α）＝ tan α

誘導公式記憶口訣

※規律總結※

上面這些誘導公式可以概括為：

對于k2 π/2 ±α(k ∈Z)的個三角函數值，

①當k 是偶數時，得到α 的同名函數值，即函數名不改變；

②當k 是奇數時，得到α 相應的餘函數值，即

sin →cos;cos →sin;tan →cot,cot →tan.

（奇變偶不變）

然後在前面加上把α 看成銳角時原函數值的符号。

（符号看象限）

例如：

sin(2 π－α) ＝sin(42 π/2 －α) ，k＝4 為偶數，所以取sin α。

當α 是銳角時，2π－α∈(270°，360°) ，sin(2 π－α) ＜0，符号為“－”。

所以sin(2 π－α) ＝－sin α

上述的記憶口訣是：

奇變偶不變，符号看象限。

公式右邊的符号為把α 視為銳角時，角k2360° α（k∈Z），- α、180°± α，

360° - α

所在象限的原三角函數值的符号可記憶

水平誘導名不變；符号看象限。

各種三角函數在四個象限的符号如何判斷， 也可以記住口訣“一全正； 二正

弦；三為切；四餘弦”．

這十二字口訣的意思就是說：

第一象限内任何一個角的四種三角函數值都是“＋”；

第二象限内隻有正弦是“＋”，其餘全部是“－”；

第三象限内切函數是“＋”，弦函數是“－”；

第四象限内隻有餘弦是“＋”，其餘全部是“－”．

上述記憶口訣, 一全正, 二正弦, 三正切, 四餘弦

其他三角函數知識：

同角三角函數基本關系

⒈同角三角函數的基本關系式

倒數關系:

tan α 2cot α＝1

sin α 2csc α＝1

cosα 2sec α＝1

商的關系：

sin α/cos α＝tan α＝secα/csc α

cosα/sin α＝cot α＝cscα/sec α

平方關系：

sin^2( α) ＋cos^2( α) ＝1

1＋tan^2( α) ＝sec^2( α)

1＋cot^2( α) ＝csc^2( α)

同角三角函數關系六角形記憶法

六角形記憶法：

構造以" 上弦、中切、下割；左正、右餘、中間1" 的正六邊形為模型。

（1）倒數關系：對角線上兩個函數互為倒數；

（2）商數關系：六邊形任意一頂點上的函數值等于與它相鄰的兩個頂點上

函數值的乘積。

（主要是兩條虛線兩端的三角函數值的乘積）。由此，可得商數關系式。

（3）平方關系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數值

的平方和等于下面頂點上的三角函數值的平方。

兩角和差公式

⒉兩角和與差的三角函數公式

sin （α＋β）＝ sin αcosβ＋cosαsin β

sin （α－β）＝ sin αcosβ－cosαsin β

cos（α＋β）＝ cosαcosβ－sin αsin β

cos（α－β）＝ cosαcosβ＋sin αsin β

tan α＋tan β

tan （α＋β）＝——————

1－tan α 2tan β

tan α－tan β

tan （α－β）＝——————

1＋tan α 2tan β

倍角公式

⒊二倍角的正弦、餘弦和正切公式（升幂縮角公式）

sin2 α＝2sin αcosα

cos2α＝cos^2( α) －sin^2( α) ＝2cos^2( α) －1＝1－2sin^2( α)

2tan α

tan2 α＝—————

1－tan^2( α)

半角公式

⒋半角的正弦、餘弦和正切公式（降幂擴角公式）

1－cosα

sin^2( α/2) ＝—————

2

1＋cosα

cos^2( α/2) ＝—————

2

1－cosα

tan^2( α/2) ＝—————

1＋cosα

萬能公式

⒌萬能公式

2tan( α/2)

sin α＝——————

1＋tan^2( α/2)

1－tan^2( α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2( α/2)

2tan( α/2)

tan α＝——————

1－tan^2( α/2)

萬能公式推導

附推導：

sin2 α=2sin αcosα=2sin αcosα/(cos^2( α) sin^2( α))......* ，

（因為cos^2( α) sin^2( α)=1 ）

再把*分式上下同除cos^2( α) ，可得sin2 α＝2tan α/(1 ＋tan^2( α))

然後用α/2 代替α 即可。

同理可推導餘弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比餘弦得到。

三倍角公式

α＝3sin α－4sin^3( α)

cos3α＝4cos^3( α) －3cosα

3tan α－tan^3( α)

tan3 α＝——————

1－3tan^2( α)

三倍角公式推導

附推導：

tan3 α＝sin3 α/cos3 α

＝(sin2 αcosα＋cos2αsin α)/(cos2 αcosα-sin2 αsin α)

＝(2sin αcos^2( α) ＋cos^2( α)sin α－sin^3( α))/(cos^3( α) －

cosαsin^2( α) －2sin^2( α)cos α)

上下同除以cos^3( α) ，得：

tan3 α＝(3tan α－tan^3( α))/(1-3tan^2( α))

sin3 α＝sin(2 α＋α) ＝sin2 αcosα＋cos2αsin α

＝2sin αcos^2( α) ＋(1 －2sin^2( α))sin α

＝2sin α－2sin^3( α) ＋sin α－2sin^2( α)

＝3sin α－4sin^3( α)

cos3α＝cos(2 α＋α) ＝cos2αcosα－sin2 αsin α

＝(2cos^2( α) －1)cos α－2cosαsin^2( α)

＝2cos^3( α) －cosα＋(2cos α－2cos^3( α))

＝4cos^3( α) －3cosα

即

sin3 α＝3sin α－4sin^3( α)

cos3α＝4cos^3( α) －3cosα

三倍角公式聯想記憶

記憶方法：諧音、聯想

正弦三倍角： 3 元減 4 元3 角（欠債了( 被減成負數) ，所以要“掙錢” ( 音

似“正弦” ) ）

餘弦三倍角： 4 元3 角減 3 元（減完之後還有“餘”）

☆☆注意函數名， 即正弦的三倍角都用正弦表示， 餘弦的三倍角都用餘弦表

示。

和差化積公式

⒎三角函數的和差化積公式

α＋β α－β

sin α＋sin β＝2sin —---- 2cos— ---

2 2

α＋β α－β

sin α－sin β＝2cos—---- 2sin — ----

2 2

α＋β α－β

cosα＋cosβ＝2cos—----- 2cos— -----

2 2

α＋β α－β

cosα－cosβ＝－2sin —----- 2sin — -----

2 2

積化和差公式

⒏三角函數的積化和差公式

sin α2cos β＝0.5[sin （α＋β）＋ sin （α－β）]

cosα2sin β＝0.5[sin （α＋β）－ sin （α－β）]

cosα2cos β＝0.5[cos （α＋β）＋ cos（α－β）]

sin α2sin β＝－0.5[cos （α＋β）－ cos（α－β）]

和差化積公式推導

附推導：

首先, 我們知道

sin(a b)=sina*cosb cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我們把兩式相加就得到sin(a b) sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a b) sin(a-b))/2

同理, 若把兩式相減, 就得到cosa*sinb=(sin(a b)-sin(a-b))/2

同樣的, 我們還知道

cos(a b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb sina*sinb

所以, 把兩式相加, 我們就可以得到cos(a b) cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a b) cos(a-b))/2

同理, 兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a b)-cos(a-b))/2

這樣, 我們就得到了積化和差的四個公式:

sina*cosb=(sin(a b) sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a b) cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a b)-cos(a-b))/2

好, 有了積化和差的四個公式以後, 我們隻需一個變形, 就可以得到和差化積

的四個公式.

我們把上述四個公式中的a b設為x,a-b 設為y, 那麼a=(x y)/2,b=(x-y)/2

把a,b 分别用x,y 表示就可以得到和差化積的四個公式:

sinx siny=2sin((x y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx cosy=2cos((x y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x y)/2)*sin((x-y)/2)

任意角三角函數誘導公式表

3、三角函數基本公式

1)一個角的諸函數的基本關系

2)一函數以同一角的其他函數表示式

3)和差公式

4)倍角公式

5)積化和差公式

6)和差化積公式

7)半角公式

8)函數的乘方

9)其他常用公式

4、任意三角形常用公式

正弦定理

餘弦定理

正切定理

面積

a邊上的高

a邊上的中線

A角的二等分線

外接圓半徑

内切圓半徑

半角公式

5、任意三角形邊和角的公式

1)已知,一邊和二角α、∠A、∠B。求其餘要素的公式：

2)已知,二邊及其夾角a、b、∠C。求其餘要素的公式：

3)已知,二邊和其一對角a、b、∠A。求其餘要素的公式：

4)已知,三邊a、b、c。求其餘要素的公式：

注意：

① 表示如a＞b，則∠B＜90°，這時隻有一值。如a＜b，則當bsinA＜a時，∠B有二值(∠B2＝180°-∠B1)；當bsinA＝a時，∠B有一值即∠B＝90°；當bsinA＞a時，三角形不可能。

6、反三角函數

今天就到這了。明天更新常用曲線方程。敬請期待……

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