根号2說：

你怎麼比我還無理取鬧

昨天，超模君和小天發現了隐藏着的根号2（傳送門）。

小天一臉嫌棄：怎麼說的好像是你發現似的

事實上，√2隻是一個最普通的無理數。或者可以說，根号2是最“有理”的無理數了。

啥情況，為什麼說√2是無理數中最有理的呢？

原來在這個龐大的無理數家族中，比√2更“無理”的數多了去了。。。（科學是無止境的）

此外，√2是方程 x² - 2 = 0 的一個解，由此可知，稱√2是一個“代數數”。

代數數：如果某個數能成為一個整系數多項式方程（a n · x n … a 1 · x a 0 = 0）的解，我們就把它叫做“代數數”（algebraic number）。

顯然，那些可以用根号表示出來的無理數，都屬于代數數。所有有理數都是代數數，因為它滿足方程 nx-m =0（m，n為整數 ，n≠0）。

超模君：小天，你看看這個數：0.110001000000000000000001…（其中小數點後面第 1，2，6，24，120，... 位是 1，其餘位都是 0），你看看能不能用這個數找一個方程？

小天：超模君，你這不是在逗我嗎。。。我要找模友來幫忙

超模君：别别别，不打擾我們的模友了，還是我來跟你說吧！類似剛才這種數呢，我們叫做“超越數”，而這種數是無法用方程式來表示的（所以除了代數數以外的數都叫超越數）。

剛才說的我提的數字：0.110001000000000000000001…（其中小數點後面第 1，2，6，24，120，... 位是 1，其餘位都是 0）也就是史上第一個超越數！

小天：天哪，這個數到底是什麼人發現的！

劉維爾

原來在1844年，法國數學家劉維爾構造出這個數（這種構造性的做法是數學證明中一個常用的方法），潛心研究，終于發現，這個數不可能滿足任何整系數代數方程，由此證明了它不是一個代數數，而是一個超越數。因此，第一個超越數也稱“劉維爾數”。

在1873 年，法國數學家夏爾·埃爾米特也證明出自然底數 e 是一個超越數。

夏爾·埃爾米特

1882 年，德國數學家林德曼證明了圓周率 π 是一個超越數。（從此，π的神秘面紗也慢慢揭開。）

在研究超越數的過程中，萊昂哈德·歐拉曾提出猜想：若a是不等于0和1的代數數，b是無理代數數，則a^b是超越數。

這個猜想已被證明，于是可以斷定e、π是超越數。

像無理數的發現一樣，超越數的證明，也給數學帶來了一場大變革，它解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題（即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題）。

倍立方問題：有一個立方體，如何生成該立方體體積兩倍的新立方體。

三等分任意角問題：在隻用圓規及一把沒有刻度的直尺将一個給定角三等分。

化圓為方問題

：是古希臘尺規作圖問題之一，即：求一正方形，其面積等于一給定圓的面積。

然而，人們對超越數的了解還是太少。至今數學家們仍然不知道，π e、π - e、π·e、π/e 這些數是否是超越數。。。

盡管如此，人們還是普遍相信它們都是超越數，畢竟它們不大可能恰好滿足一個各項系數都是整數的多項式方程。

小天：嗯，有道理。。。不過，“超越數”這個詞有點“辣眼睛”啊。

超模君：你以為講到超越數就完了？還有更“辣眼睛”的數呢。。。

事實上，π的小數部分展開看上去是毫無規律的，但畢竟還是有辦法算出來的。

可以說，如果想知道 π 的小數點後第一億位是多少，人們總能在有限的時間裡算出結果來。

數學的探索總是那麼讓人着迷！！！

就在1975年，數學家格裡高裡·蔡廷（算法信息論創始人）研究了一個很有趣的問題：任意指定一種編程語言中，随機輸入一段代碼，這段代碼能成功運行并且會在有限時間裡終止（不會無限運行下去）的概率是多大？

他把這個概率值命名為了“蔡廷常數”（Chaitin's constant）。

這聽起來有點不可思議，但事實上确實如此——蔡廷常數是一個不可計算數（uncomputable number）。

也就是說，雖然蔡廷常數是一個确定的數字，但現已在理論上證明了，它是永遠無法被求出來的。。。

小天背脊一涼：哈哈……不可計算數……不可計算……數……

超模君（根本停不下來）：其實還有一個“更大的boss”。。。

雖然蔡廷常數是算不出來的，但是我們卻知道蔡廷常數是什麼，至少它有一個明确的定義。

然而，你仔細想想，會不會存在一種我們完全無法給它定義的一類數呢？

細思極恐，很顯然，這類數是存在的。

至于原因，其實很簡單：長度有限的文字段落是可以逐一枚舉的（雖然有無窮多），而全體實數是不能枚舉的，因此總存在一些不可能用語言描述出來的數。這種數就叫做不可定義數（undefinable number）。。。

此時的超模君根本停不下來。。。

聽完這一切的小天一臉懵逼。。。

不過仔細想想：先分（zhuang）享（bi）給11歲的表妹。

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