外接球與内切球

【球的定義】

第一定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體叫球體，簡稱球。 半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。

第二定義：球面是空間中與定點的距離等于定長的所有點的集合。

【球的截面與大圓小圓】

截面：用一個平面去截一個球，截面是圓面；

大圓：過球心的截面圓叫大圓，大圓是所有球的截面中半徑最大的圓。

球面上任意兩點間最短的球面距離：是過這兩點大圓的劣弧長；

小圓：不過球心的截面圓叫小圓。

【球的截面的性質】

性質1：球心和截面圓心的連線垂直于截面；

【外接球問題】

簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點，此類問題實質是解決球的半徑尺或确定球心0的位置問題，其中球心的确定是關鍵．

1. 由球的定義确定球心。在空間，如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那麼這個定點就是該簡單多面體的外接球的球心．

由上述性質，可以得到确定簡單多面體外接球的球心的如下結論:

結論1：正方體或長方體的外接球的球心其體對角線的中點．

結論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點．

結論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點．

結論4：正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計算找到．

結論5：若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心．

2.構造正方體或長方體确定球心。長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點處．以下是常見的、基本的幾何體補成正方體或長方體的途徑與方法．

途徑1：正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是是直角三角形的三棱錐都分别可構造正方體．

途徑2：同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分别可構造長方體和正方體．

途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關系，則可将棱錐補成長方體或正方體．

途徑4：若三棱錐的三個側面兩兩垂直，則可将三棱錐補成長方體或正方體．

3. 由性質确定球心。利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質，确定球心．

【内切球問題】

若一個多面體的各面都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的内切球。

1、内切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等。

2、正多面體的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱錐的内切球和外接球球心都在高線上，但不重合。

4、基本方法：構造三角形利用相似比和勾股定理。

5、體積分割是求内切球半徑的通用做法。

【考點】球的表面積

【點撥】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或隻畫内切、外接的幾何體的直觀圖，确定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該

幾何體已知量的關系，列方程(組)求解．

答題思路

【命題意圖】主要考查球與幾何體的切接問題及空間想象能力、計算求解能力，考查函數與方程思想、等價轉換思想在解題中的應用．

【命題規律】簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點，此類問題實質是解決球的半徑長或确定球心

的位置問題，其中球心的确定是關鍵．

【答題模闆】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關系，或隻畫内切、外接的幾何體的直觀圖，确定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關系，列方程(組)求解．

【方法總結】

解決外接球與内切球問題，關鍵在于解決球體的半徑，明确球心位置，以下為确定球心位置與半徑的常用方法：

一、外接球問題

（一） 由球的定義确定球心

在空間，如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那麼這個定點就是該簡單多面體的外接球的球心．

由上述性質，可以得到确定簡單多面體外接球的球心的如下結論．

結論1：正方體或長方體的外接球的球心其體對角線的中點．

結論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點．

結論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點．

結論4：正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計算找到．

結論5：若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心．

（二）構造正方體或長方體确定球心

長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點處．以下是常見的、基本的幾何體補成正方體或長方體的途徑與方法．

途徑1：正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是是直角三角形的三棱錐都分别可構造正方體．

途徑2：同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分别可構造長方體和正方體．

途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關系，則可将棱錐補成長方體或正方體．

途徑4：若三棱錐的三個側面兩兩垂直，則可将三棱錐補成長方體或正方體．

（三） 由性質确定球心

利用球心與截面圓圓心的連線垂直于截面圓及球心與弦中點的連線垂直于弦的性質，确定球心．

二、内切球問題

若一個多面體的各面都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的内切球．

1、内切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等．

2、正多面體的内切球和外接球的球心重合．

3、正棱錐的内切球和外接球球心都在高線上，但不重合．

4、基本方法：構造三角形利用相似比和勾股定理．

5、體積分割是求内切球半徑的通用做法．

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