老黃寫這些作品的目的隻有一個，就是幫助自己以及愛學習的小夥伴們強化高等數學的一些定理以及相關知識的掌握和運用能力。下面是一道關于羅爾中值定理和根的存在性定理的綜合應用的例題。

設k>0，若方程arctanx-kx=0存在正根，求k的取值範圍.

分析：先明确對應的函數f(x)在R上可導，因此，在任意閉區間上，都符合羅爾中值定理，并在任何範圍内都可能找到符合根的存在性定理的區間。

假設方程存在正實根x0，那就在[0,x0]上應用羅爾中值定理，可以發現k在(0,1)上, 這是方程存在正根的必要條件。而非充要條件。所以接下來要證明k在(0,1)上，是方程存在正根的充分條件，從而形成充要條件，那麼(0,1)就是k的取值範圍。

事實上，證明k在(0,1)上是必要條件的方法有很多，但運用羅爾中值定理來證明，數學語言上比較規範。另外一種比較規範的方法是，說明當k>1時，f'(x)<0，使得函數嚴格單調減。這時方程就隻有一個實根，而由f(-x)=-f(x)可知，f是一個連續的奇函數，方程有一個根x=0，就變成了方程唯一的實根，也就不會有正根了。

當0<k<1時，可以證明f'(0)>0，由連續函數的局部性質，可知存在0的一個鄰域，使得f'(x)>0，即函數在這個鄰域上嚴格單調遞增，所以在這個鄰域内肯定存在使函數大于0的點a。又當x趨于正無窮時，函數趨于負無窮，所以一定存在大于a，且使函數小于0的點b。這樣就在(a,b)上構成根的存在性定理的條件，從而可知(a,b)上有正根。這就證明了0<k<1的充分性。即k在(0,1)上是方程有正根的充要條件。從而得證！

下面組織證明過程：

證：記f(x)=arctanx-kx, f(x)在R上可導,

記存在x0>0, 使f(x0)=f(0)=0, 則由羅爾中值定理知，

存在ξ∈(0,x0)，使得f’(ξ)=1/(1 ξ ^2 )-k=0, ∴0<k<1.

當0<k<1時，由f’(x)= 1/(1 x^2 )-k，有f’(0)=1-k>0,

∴存在某鄰域U(0,δ)，使得f’(x)>0，f(x)嚴格遞增，

從而存在a>0，使f(a)>f(0)=0.

又lim(x→ ∞)f(x)=-∞,

∴存在b>a，使f(b)<0，

由根的存在定理知，方程在(a,b)内有正根.

∴當且僅當0<k<1時,方程存在正根.

我們來看一看，當k=1時的函數圖像，很明顯的，方程這個時候是沒有實根的。

接下來是當k=1/2時的函數圖像，可以看到，方程這個時候就有一個正根了。

那如果k<0會怎麼樣呢？看下圖，是k=-1/2時的函數圖像。

希望老黃對這道題的解析，能幫你強化羅爾中值定理和根的存在性定理的應用能力。

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