正弦定理和餘弦定理是我們在高中數學學習中遇到的一組非常重要的定理，它們揭示了三角形的邊角關系，将兩者搭配使用能解決很多（斜）三角形問題.

你或許曾疑惑為什麼要學習這兩個定理，難道僅僅是為了解題嗎？不！實際上，這兩個定理有着非常美妙的應用，非常可惜的是，我們刷了很多題，卻忽視了其背後蘊含的數學之美.

今天，小編就和大家來聊一聊為什麼我們要學習正弦定理和餘弦定理.

1 正弦定理和餘弦定理

首先，我們來回顧一下什麼是正弦定理和餘弦定理：

正弦定理在中，若角ABC所對邊的邊長分别為abc，則有

餘弦定理在中，若角所對邊的邊長分别為，則有

利用正、餘弦定理，我們可以解決大量的實際問題.

2 正、餘弦定理與神秘的流星

流星是一種天文現象，這幾乎是每個現代人都熟知的事實，但是當我們穿越曆史的迷霧，就會發現人類對于流星的認知并非是從一開始就清晰明了的.

人們曾一度猜測，天空中劃過的流星是一種地球的蒸發物，亦或是地球上的磷火升空後的燃燒現象.直到18~19世紀之交，德國天文學家本森伯格和布蘭德斯采用三角學方法精彩地論證了流星實際上是“天外來客”.

如圖，設有兩個觀測者在地球上的兩個觀測點，他們對同一顆流星進行觀測，其中AB=500km，由地球半徑可得

因此

已知兩個觀測者的仰角分别為

則

由正弦定理得

可算出

再由餘弦定理可得

也就是說，流星距離地表的高度約為

然而，科學發現雲層的高度不超過，因此我們可以斷定，流星不可能是地球上的某種蒸發物，它一定是天外來客！可見，正是正弦定理和餘弦定理幫助人類邁出了正确認知這種神秘天文現象的第一步.

3 正、餘弦定理與測量問題

正、餘弦定理在數學史中與測高、測距等實際問題緊密相關.17世紀以後，随着三角學的發展，人們更多地運用三角學來解決諸多測量問題.特别是到18世紀初，法國數學家馬雷（1630—1706）在其著作《實用幾何學》中讨論了幾類經典的三角學應用問題.

問題Ⅰ：如圖，如何測量海島上某建築物的高度？

一方面，這個問題的困難之處在于無法測量出觀測點到建築物底部的距離，但是另一方面，借助當時已經發明出來的測角儀，我們可以測量出兩個觀測點與建築物底部、建築物頂部之間産生的各種角度，并且兩個陸地觀測點之間的距離也是可以知道的.

對此我們可以抽象出如下數學模型：

已知以及角1234以及 CD，求AB.

解答：在中，由正弦定理：

所以

同理，在中，由正弦定理可得：

計算出和後，在中利用餘弦定理可得：

這樣測高問題就迎刃而解了.

相對應的，有測高問題就有測距問題.

問題Ⅱ：如圖，如何測量某兩個海島建築物之間的距離？

實際上，有了問題Ⅰ的鋪墊，我們就可以比較輕松地理解并解決問題Ⅱ了，将其抽象為如下模型：

仿照上述測高問題的解決方法，我們隻要分别在和中使用兩次正弦定理算出和，然後在中運用餘弦定理算出即可.

可見，測高問題和測距問題貫穿了整個三角學的發展曆程.實際上，三角學在測量領域的重要影響從其英文名“Trigonometry”就可見一斑：這個單詞最早是由德國數學家畢蒂克斯（B.Pitiscus,1561~1613）于1595年首創，由希臘文“trigono”（三角）和“metrein”（測量）組合而成，其原意便是三角學的測量.各種測量問題是三角學要研究的基本問題，而後來三角學的涵義越來越豐富，逐漸成為研究三角函數及其應用的一個數學分支.

4 正、餘弦定理與平面幾何

有些初等幾何問題用純幾何的方法求解往往比較困難，但是當我們借助正、餘弦定理，則問題就可以得到簡化.例如，古希臘數學家海倫在其著作《測量學》一書中提出了著名的“海倫公式”：

已知三邊，記稱為半周長，則三角形面積為

這個優美的公式有一個漂亮的幾何論證方法，這裡不再贅述.實際上，我們也可以通過正、餘弦定理來對其進行推導：

已知兩邊及其夾角,我們有

則

由于餘弦定理，可得

所以

值得一提的是，這個公式被稱為“三斜求積術”，由我國南宋著名數學家秦九韶發現，将其進一步變形就可得到海倫公式，兩者是等價的.

對上述公式進一步處理，得到

令，則有

[1]汪曉勤.HPM:數學史與數學教育[M].科學出版社,2017.[2]汪曉勤,沈中宇.數學史與高中數學教學——理論、實踐與案例[M].華東師範大學出版社,2020.

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來源：大小吳的數學課堂

編輯：just_iu

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