高考數學一卷解析幾何的題-tft每日頭條

高考數學一卷解析幾何的題

教育更新时间:2025-02-05 00:51:41

2022年高考數學一卷第19題-立體幾何題

如圖，直三棱柱ABC-A’B’C’的體積為4，三角形A’BC的面積為2√2，

求（1）A到平面A’BC的距離。

求（2）設D是A’C的中點，AA’=AB, 平面A’BC垂直于平面ABB’A’, 求二面角A-BD-C的正弦值。

高考數學一卷解析幾何的題（2022年高考數學一卷第19題-立體幾何題）1

解：這又是一道比較難的題，但本題的第一問比較簡單，第二問的解答以後給出。

如圖，做三角形A’BC 底邊BC的高A’F. 連接AF。

高考數學一卷解析幾何的題（2022年高考數學一卷第19題-立體幾何題）2

直棱柱說明A’A垂直于底面ABC，因此AA’ ⊥BC , 此外根據所做的高線BC⊥A’F

因此BC垂直平面A’AF, 所以三角形ABF直角三角形，∠AFB=90°

在圖中設AB=a, BC=b, ∠ABC=α,

同時設高A’F=m, 高AF=n, 點A’到平面A’BC 的距離為d.

三角形ABC的面積S=(absinα)/2=nb/2

根據棱柱的體積V=Sh=hnb/2=4, 即 hnb=8

而三角形A‘BC的面積A=bm/2=2√2, 即bm=4√2

V/A=hnb/(bm)=8/(4√2)= √2

即hn/m=√2

由于AE是高，即AE垂直于A’F, 在直角三角形A’AF 中，由于BC垂直于平面A'AF,則BC垂直AE，所以AE垂直平面A'AF ,因此AE就是所求的距離，如圖：

高考數學一卷解析幾何的題（2022年高考數學一卷第19題-立體幾何題）3

根據面積相等 hn/2=md/2

所以d=hn/m=√2

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