總結求二元函數極限的方法?利用洛必達法則求二元函數的極限陳朝晖，今天小編就來說說關于總結求二元函數極限的方法?下面更多詳細答案一起來看看吧!

總結求二元函數極限的方法

利用洛必達法則求二元函數的極限陳朝晖

擒耍本文給出了二元無窮小量與無窮大量的階的定義，将一元函數的洛必達法則推廣列二元函數上。蛤出了二元函敦的洛曲

達法則，并利用它計算關于二元函數的：型與詈型未定式及其它類型的未定式極限。關鍵詞二元函數洛．必達法則未定式二元無窮小量二元無窮大量

計算關于二元函數的兩個無窮小之比以及兩個無窮大之比的未定

式的極限時，往往需要經過适當的變形，轉化成可利用極限運算法則

或重要極限的形式進行計算。這種變形沒有—般的方法．需視具體問

題而定，屬于特定的方法"1。本文讨論利用偏導數為工具，給出求未

定式極限的一般方法，即二元函數的洛必達法則。

1 二元無窮小■與無窮大量的階

在一元無窮小量的階中，有這樣的定義田：設)，=，∞為當，-÷o

時的無窮小量，若以x作為基本無窮小量，則當÷-．a≠o，(七為某一正數)時，稱y為七階無窮小量，此時y與靠'等價。類似地可

以定義二元無窮小量的階。

定義l設二元函數．廠∽力為當似)．)一(o，o)時的無窮小量，若以

廂作為基本無窮小量，則當衢一口≠o， (t為某一正數)時，稱，(毛y)為I階無窮小量，此時，(毛y)與a(''一)·等價。

定義．2設二元函數，"y)為當工一一，y_一時的無窮大量，若

以廂作為基本無窮大量，則當器_口≠o，"為某一正數)時，稱，似_'，)為七階無窮大量，此時八'力與口(^2 y2)'等階。

2二元函數的洛必達法則

定理l"若二元函緻-，(工，力、g∽"麗足：

(1)在區域D内有定義。(‰，凡)為D的—個聚點；

(2)。j；叻、，，('，)。"。。點m^，"'n。o(3)在D内有關于工，y的連續偏導數，且

譬二(毛y)'& g：('y)方≠o

(4)。。瓤，怒籌端存在(或為無窮大)則艦，矧-艦，纂等曩等其中：出=工一而。砂=)，一兒

定理1隻給出了當"力_(粕，兒)時的：型未定式極限的情形，下面推導出當工-÷鴨)，-÷一時的：型未定式極限的情形。

定理2設二元函數，(z。．，，)、g(毛J，)滿足：

(1)蜘胤力2 0'岫g"力'o(2)對充分大的I|1及I．'．|。有對工及y的連續偏導數，且

譬：(x，)，)出 g：(')，)砂≠o

(3)燭募籌篆苦東醬存在(或為無窮大)則陋嬲=曬纂差揣其中：出=五砂；y

證：令，：三，y：三，則當x-鴨y- 。時，。- o'v—o，由多元

複合函數的求導法則⋯甓毒理l可得： ． ．粵籌2曾拳。曾籌端|lim坐雩些絲聳tlim坐剿一lim———J}—二二——}_t lim———}二—{盤g："烈一÷弘 F；"烈一古p 墨z似，)： j；似力；

。呦承砑再赫。燭五巧面菘丙麗其中：出￡。砂：y 證畢一定理l、定理2稱為二元函數的洛必達法則(：型未定式)。對=

型未定式有類似的定理及證明。" 。

注：在：型或=型未定式中，如果自變量的變化過程為工． '，則出=x一而，如果工一一。則凼=工，同樣，如y_兒，則砂=)，一兒，如，_÷一，則砂=J，。

有些二元函數的：型或三型極限，利用二元函數的洛必達法則後得到該極限的常數倍，則該極限與這個常數的範圍有關。

定理3設。I!鲰。他，)-q挑‰m力～，且上瓯；器～。瓤；器則

(1)當，>l時，撬。粼'o(2)當o<，<I時，。慨，淵。-證明(1)：由于．，婪飄，"力'仉。盟!!。，"卵一，可設．廠似y)為m階無

窮小量．譬似y)為對階無窮小量，腳>o．一>o，即L廠"力～甙√萬尹)。。g(毛力～故正河)。。口，o。6，o，于是抵，淵．撬籌霧．；胝糕

-毛‰看辱籍-暑牌。簧磊并。i。g‰葡露；f。i。3=}鼍{。菊i麗i-詈腮．，掰霧-暑撬嬲

又也‰矧～。胸。淵故詈=，。當，>l時，魯>l又肼>O．一>O，因此肘>一>O，于是

'

。撬矧-撬等并-；撬'而～證畢同理可證(2)

注：(1)将定理3中的似力．．(o-o)換成(工，力- (而，兒)或x_-，

)．一一，結論仍成立。(2)當，=l時，該極限可能存在，也可能不存在，需用其它

方法求解。

翹萋4設蜘肥力--．魉-似力一，且腳矧-，曬矧，則，-，_ 一，-

(1)當，>l時，曬淵一(2)當o《r<l時，岫粼。o證法與定理3類似。

注：(1)将定理4中的工_一，y一一換成"力_‰。兒)，結論仍成立。

(2)當，=l時，該極限可能存在，也可能不存在，需用其它

方法求解。

3=元函數的洛必達法則的應用

例：ljm掣

解：觸字一瓿坐等産業-liln坐塑竺竽裡竺堕·linl(2l一2)"掣-2

●，，p■zm ，ll，H硼

注：矗=x一2'方=y—O=y (轉121頁)

萬方數據

近萎縮一半，推測海岸線向盆地中心推進30—鲫km，}舻乎面下降幅度

大約是25，35m(按陸架傾角0．05。計算)，沉積岸線向盆地中心推

進．粗碎屑在盆地中心沉積，從現有地震記錄識剮，低位砂體主要

分布在盆地中心的西部和北部，但是西部的規模明顯大于北部。并

且在西部見到明顯的切谷沉積。反映紅河水系攜帶的沉積物繞過臨

高凸起，蜿蜒從西南側進入沉積中心，從ARc0公司的梅山組古地貌

圖反映，沉積中心西側在該時期存在規模很大的深切谷，切谷走向

垂直于地層等厚線，地震剖面上自西向東地層沉積、下超特征明

顯，推測在當時西側水系發育。而北面低位沉積特征不明顯，推測

缺乏大規模物源供應，盆地在梅山組地層沉積期存在南北兩個沉積

中心，其中北面的沉積中心分東西兩個次中心和北邊的次級低窪三個部分。在低水位時期，來自紅河和馬江的粗碎屑物主要沉積在西

邊的次沉積中心，而來自東北方向昌化江的粗碎屑主要沉積在北邊

的次級低窪處。綜合分析莺北低位期砂岩主要沉積在北部沉積中心

的西側和北部，東方l—l構造區在這一期間屬于沉積中心的中央相

對高部位。不利于低位粗碎屑岩沉積，特别是在構造的東南側，缺

乏大規模粗碎屑供應。

後期海平面快速上升，莺北地區主要以海侵沉積體系為主，在

離岸較遠、靠近盆地中心部位，地層超覆現象明顯，盆地邊緣部位

地層醬遍較薄，為後期高位沉積體系域，主要為濱海一海岸沉積環

境，海口29-l構造與海口30-3構造問淺水沉積發育，形成濱海一沖

積平原沉積環境；臨高一海口間的半封閉海灣沉積範圍遠遠超出梅

二段沉積期，淺海沉積範圍往北擴大至107區塊，推測這個時期紅河

入海處仍然處在盆地西側，在15．5一13．8Ma期間紅河入海處主要在北

面，由此可推測在13．8Ma前後，紅河凹陷受擠壓走滑，構造反轉擡

升作用明顯，臨高構造帶屬于擠壓作用削弱的地帶，但仍然具擡升

作用，就是因為這種逐漸擡升作用，臨高區逐漸變成半島形高地，

紅河也因為入海處地形的變化而繞道經盆地北西鍘進入北部沉積中

心。這與河内凹陷一鴛北地區的斷層由西北走向過潑到正南北走向

的現象是一緻的。

在12．5Ma前後(對應國際地層年代11．6Ma)海平面有小幅度下

降，國際地層協會認定存在1．5Ma時問段的小規模冰期，鴛歌海盆地

海平面下降幅度比前13．8附近的規模要小許多，盆地中心部位地層界

面不清楚，推測未能形成二類層序界面。在lo．5Ma附近形成區域剝

蝕面，水道切割地層現象特别明顯，在盆地邊緣部位，缺失s4w—

s40地層。從現有的鑽井地層推測12．5Ma—lo．sMa期問。莺北地區臨

(接86頁)例：墊軎等

解：蜘弗，懊嘗。蜘魯籌．姆南．。例：艦籌解：船。籌，。熱，等辔-主撬籌由定理3及，=}l得。撬嶄。o

二元函數的洛必達法則可推廣到三元及三元以上函數的情形。飼：警端解：嘞籌-陋筆等糌-；畸籌由，。}l得陋揣一

4其它類型的未定式(o·鴨一一·．-o。，l-，*。)可化為：或三型的未定

飼：撬t未一≥解I撬彘一争t。．!i甄竺三睾-。‰号掣

-。撬叢型等業·瓿業擎!～H¨ "'W¨ 4

高20-l、海口29-1構造區主要為臨濱淺水沉積環境，它們之問的半

封閉海灣環境範圍相對早期變小。整個鴛北地區在T4w(12．5Ma)

界面下地層量疊瓦狀前積，界面凹凸起伏。沖溝發育。區域環境分

析和鑽井資料表明，鹭北地區的沉積環境主要為淺海環境，這種類

似沉積物大量進積的沉積特征主要是由于淺海海流、風暴共同作用

造成砂壩遷移而成．其特點是砂岩的厚度比較薄，呈反韻律，單個

韻律很少超過20m，優質砂岩主要分布在一個反韻律頂部，單個有效

儲層—般不超過lom，同時海流作用形成大量的陸架水道切割，這種

切割作用對後期地層岩性圈閉起着關鍵作用。

(5)儲層物性。中中新統地層目前埋深3000—400【lIT之問，砂岩實測岩心孔隙度平均在9％一14％，滲透率平均在O．6×lo-I一2．3×

104"m2|'日J。儲層物性主要受沉積(泥質含量、顆粒粒度以及分選性)和成岩作用(壓實和膠結作用)共同影響。泥質含置對淺埋藏

的儲層影響較大，但深埋的儲層孔隙與泥質含量相關性不明顯，而

與填隙物含量(泥質與膠結物之和)有明顯的負相關性，這說明泥

質含量已不是影響深層儲層孔隙發育的主要因素，而成岩作用的影

響已占主導地位。壓實作用是影響莺北地區埋深在3∞o一4000m之間

的砂岩孔隙度的主要因素，大多數井證實砂岩因壓實作用損失的原

始孔隙度在5(1％以上。膠結作用破壞強度雖不如壓實作用，但也是

造成儲層非均性的原因之一。莺北區膠結作用損失的原始孔隙度在

30％之下，膠結物有(鐵)方解石，(鐵)白雲石、菱鐵礦，膠結

含量與視面孔率有一定的負相關關系。另外，較高的地層壓力會阻

止壓實作用的正常進行，使孔隙度減少的速度變緩甚至導緻孔隙的

回升。

參考文獻

【11愛德華^．博蒙特、諾曼H．福斯特嫡．劉德采，王永興．薛良清等譯．油氣圈閉勘探．石油工業出版社。2002

【2】王田芝，等．滇西高原的隆升與莺歌海盆地的沉積響應田．沉積學

報．撕)()．18(2)：234—240【3】向宏發，萬景林。韓竹軍。等．紅河斷裂帶大型右旋走滑運動發

生時代的地質分析與flr刺年．中國科學D輯，2()06，36(11)：977—987

【4J鐘志洪。王良書，夏斌，等．莺歌海盆地威因及其大構造意義

田．地質學報，2004．78(3)：302—3I)9

【5l束炳來．王慧芬。陳築蔚，等．新生代華夏岩石圈減薄與東亞邊

摹海盒構違演化的年代學懷地球化學制約研究田．地球化學．2002，31

(3)：213—221 (收稿日期：20lo—04—20)

．1im堕竺盟必塵等掣鲨盟三塾坦塵

。lim塑!翌鼍鹼生三鮑-o

例：1．眦F ，∥'-．，}一●∞

解：先求取對教之後的極限z吐 2待

．舅‰内2蜊 ，l蔔。酞号筍-船k≤茜三嘗‰●Ⅲ¨ Ⅲ¨'，～Hq一一，⋯，-，F．礦-。瓿弱-撬壽～；撬加。

于是撬'， ，∥。撬∥w'-，11參考文獻

【1l昊贛昌．高等款學(理工囊)【M】．北京：中田人民大學出版社。2【X療：S6

【21陳傳璋。金福臨．教學分析(第二版上●"【~日．北京：高等教育出■牡．1％3：92

【3J張立新．二元函數的截分中值定理及羅比選法則m．遼甯教育學院

學報。2()()1(9)：21

【4】盛祥耀．高等數學(第二版下丹)【MJ．北京：高等教育出版社。爿X)3：52

作者簡介陳朝晖(1970．)。理學士，講師。研究方向：教學教

育。 (收稿日期：201'蔔oI一29)

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