第09講 不等式（組）及其應用

一、考點知識梳理

【考點1 不等式的概念及性質】

1．不等式：一般地，用不等号連接的式子叫做不等式．

2．不等式的解：能使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解；一個含有未知數的不等式的解的全體，叫做不等式的解集．

3．不等式的基本性質：

性質1：不等式兩邊都加上(或減去)同一個數或同一個整式，不等号的方向不變；

性質2：不等式兩邊同乘(或除以)以一個正數，不等号的方向不變；

性質3：不等式兩邊同乘(或除以)以一個負數，不等号的方向改變．

【考點2 一元一次不等式及其解法】

1．一元一次不等式：隻含有一個未知數，且未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式，其一般形式是ax＋b>0或ax＋b<0(a≠0)．

2．解一元一次不等式的一般步驟：(1)去分母；(2)去括号；(3)移項；(4)合并同類項；(5)系數化為1.

3．一元一次不等式的解集在數軸上的表示

解集在數軸上的表示

x<a

x>a

x≤a

x≥a

【考點3 一元一次不等式組及其解法】

1．一元一次不等式組：含有相同未知數的若幹一元一次不等式（一般是兩個）所組成的不等式組叫做一元一次不等式組．

2．一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分．

3．解一元一次不等式組的步驟：(1)先求出各個不等式的解集；(2)再利用數軸找它們的公共部分；(3)寫出不等式組的解集．

4.求不等式(組)的特殊解，一方面要先求不等式(組)的解集，然後在解集中找特殊解．

【考點4 一元一次不等式（組）的應用】

列不等式(組)解應用題的步驟：(1)找出實際問題中的不等關系，設定未知數，列出不等式(組)；(2)解不等式(組)；(3)從不等式(組)的解集中求出符合題意的答案．

二、考點分析

【考點1 不等式的概念及性質】

【解題技巧】不等式的基本性質是不等式變形的重要依據，性質3——不等号的方向會發生改變這是不等式獨有的性質．

1．應用不等式的性質應注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，一定要改變不等号的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數時，一定要對字母是否大于0進行分類讨論．

2．不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．

【例1】（2019 上海中考）如果m＞n，那麼下列結論錯誤的是（　　）

A．m 2＞n 2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n

【舉一反三1-1】（2019 山東淄博中考模拟）若x＞y，則下列式子中錯誤的是(　　)

1. x－3＞y－3 B．3x＞3y C．x＋3＞y＋3 D．－3x＞－3y

【舉一反三1-2】（2019遼甯葫蘆島中考模拟）四個小朋友玩 跷跷闆，他們的體重分别為P、Q、R、S，如圖3所示，則他們的體重大小關系是（ ）

【舉一反三1-3】（2019•廣東佛山中考模拟）現有不等式的性質：①在不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等号的方向不變；②在不等式的兩邊都乘以同一個數（或整式），乘的數（或整式）為正時不等号的方向不變，乘的數（或整式）為負時不等式的方向改變．請解決以下兩個問題：（1）利用性質①比較2a與a的大小（a≠0）；（2）利用性質②比較2a與a的大小（a≠0）．

【考點2 一元一次不等式及其解法】

【解題技巧】(1)已知一元一次不等式(組)的解集，确定其中字母的取值範圍的方法是：①逆用不等式(組)的解集确定；②分類讨論确定；③從反面求解确定；④借助于數軸确定．

(2)根據不等式的性質解一元一次不等式，基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括号；③移項；④合并同類項；⑤化系數為1．

以上步驟中，隻有①去分母和⑤化系數為1可能用到性質3，即可能變不等号方向，其他都不會改變不等号方向．

注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等号與等号合寫形式．

【例2】（2019 遼甯大連中考）不等式5x 1≥3x﹣1的解集在數軸上表示正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【舉一反三2-1】（2019•呼和浩特）若不等式

﹣1≤2﹣x的解集中x的每一個值，都能使關于x的不等式3（x﹣1） 5＞5x 2（m x）成立，則m的取值範圍是（　　）

【舉一反三2-2】（2019•長春）不等式﹣x 2≥0的解集為（　 　）

A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥2 D．x≤2

【舉一反三2-3】（2019吉林中考）不等式3x﹣2＞1的解集是　 　．

【舉一反三2-4】（2019 河北保定中考模拟）定義新運算：對于任意實數a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右邊是通常的加法、減法及乘法運算，比如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.若3⊕x的值小于13，求x的取值範圍，并在如圖所示的數軸上表示出來．

【舉一反三2-5】（2019 江蘇南京中考）已知一次函數y1＝kx 2（k為常數，k≠0）和y2＝x﹣3．

（1）當k＝﹣2時，若y1＞y2，求x的取值範圍．

（2）當x＜1時，y1＞y2．結合圖象，直接寫出k的取值範圍．

【考點3 一元一次不等式組及其解法】

【解題技巧】解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集．方法與步驟：①求不等式組中每個不等式的解集；②利用數軸求公共部分．

解集的規律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．

【例3】（2019 山西中考）不等式組

的解集是（　 　）

A．x＞4 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x＜4 D．x＜﹣1

【舉一反三3-1】（2019 甘肅中考）不等式組

的最小整數解是　 　．

【舉一反三3-2】（2019 河南中考）不等式組

的解集是　 　．

【舉一反三3-3】（2019 湖北黃石中考）若點P的坐标為（

，2x﹣9），其中x滿足不等式組

，求點P所在的象限．

【舉一反三3-4】（2019天津中考）解不等式組

請結合題意填空，完成本題的解答．

（Ⅰ）解不等式①，得　 　；

（Ⅱ）解不等式②，得　 　；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

（Ⅳ）原不等式組的解集為　 　．

【舉一反三3-5】（2019浙江溫州中考）不等式組

的解為　 　．

【考點4 一元一次不等式（組）的應用】

【解題技巧】（1）由實際問題中的不等關系列出不等式，建立解決問題的數學模型，通過解不等式可以得到實際問題的答案．

（2）列不等式解應用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”等詞來體現問題中的不等關系．因此，建立不等式要善于從“關鍵詞”中挖掘其内涵．

（3）列一元一次不等式解決實際問題的方法和步驟：

①弄清題中數量關系，用字母表示未知數．

②根據題中的不等關系列出不等式．

③解不等式，求出解集．

④寫出符合題意的解．

【例4】（2019•哈爾濱）寒梅中學為了豐富學生的課餘生活，計劃購買圍棋和中國象棋供棋類興趣小組活動使用．若購買3副圍棋和5副中國象棋需用98元；若購買8副圍棋和3副中國象棋需用158元；

（1）求每副圍棋和每副中國象棋各多少元；

（2）寒梅中學決定購買圍棋和中國象棋共40副，總費用不超過550元，那麼寒梅中學最多可以購買多少副圍棋？

【舉一反三4-1】（2019•台灣）阿慧在店内購買兩種蛋糕當伴手禮，如圖為蛋糕的價目表．已知阿慧購買10盒蛋糕，花費的金額不超過2500元．若他将蛋糕分給75位同事，每人至少能拿到一個蛋糕，則阿慧花多少元購買蛋糕？（　 　）

A．2150 B．2250 C．2300 D．2450

【舉一反三4-2】（2015 .河北中考）水平放置的容器内原有210 mm高的水，如圖，将若幹個球逐一放入該容器中，每放入一個大球水面就上升4 mm，每放入一個小球水面就上升3 mm，假定放入容器中的所有球完全浸沒水中且水不溢出．設水面高為y mm.

(1)隻放入大球，且個數為x大，求y與x大的函數關系式；(不必寫出x大的範圍)

(2)僅放入6個大球後，開始放入小球，且小球個數為x小．

①求y與x小的函數關系式；(不必寫出x小的範圍)

②限定水面高不超過260 mm，最多能放入幾個小球？

【舉一反三4-3】（2019 湖北孝感中考）為加快“智慧校園”建設，某市準備為試點學校采購一批A、B兩種型号的一體機．經過市場調查發現，今年每套B型一體機的價格比每套A型一體機的價格多0.6萬元，且用960萬元恰好能購買500套A型一體機和200套B型一體機．

（1）求今年每套A型、B型一體機的價格各是多少萬元？

（2）該市明年計劃采購A型、B型一體機共1100套，考慮物價因素，預計明年每套A型一體機的價格比今年上漲25%，每套B型一體機的價格不變，若購買B型一體機的總費用不低于購買A型一體機的總費用，那麼該市明年至少需要投入多少萬元才能完成采購計劃？

【舉一反三4-4】（2019 福建中考）某工廠為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山“的發展理念，投資組建了日廢水處理量為m噸的廢水處理車間，對該廠工業廢水進行無害化處理．但随着工廠生産規模的擴大，該車間經常無法完成當天工業廢水的處理任務，需要将超出日廢水處理量的廢水交給第三方企業處理．已知該車間處理廢水，每天需固定成本30元，并且每處理一噸廢水還需其他費用8元；将廢水交給第三方企業處理，每噸需支付12元．根據記錄，5月21日，該廠産生工業廢水35噸，共花費廢水處理費370元．

（1）求該車間的日廢水處理量m；

（2）為實現可持續發展，走綠色發展之路，工廠合理控制了生産規模，使得每天廢水處理的平均費用不超過10元/噸，試計算該廠一天産生的工業廢水量的範圍．

三、【達标測試】

（一）選擇題

1.（2019 雲南中考）若關于x的不等式組

的解集是x＞a，則a的取值範圍是（　　 ）

A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2

2.（2019•日照）把不等式組

的解集在數軸上表示出來，正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

3.（2019•廣東佛山中考模拟）一元一次不等式組

的解集中，整數解的個數是（　　）

A．4 B． 5 C．6 D． 7

4.（2019 安徽中考）已知三個實數a，b，c滿足a﹣2b c＝0，a 2b c＜0，則（　　）

A．b＞0，b2﹣ac≤0 B．b＜0，b2﹣ac≤0

C．b＞0，b2﹣ac≥0 D．b＜0，b2﹣ac≥0

5.（2019 河北滄州中考模拟）已知點P（a 1，2a﹣3）在第一象限，則a的取值範圍是（　　）

A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜

C．﹣

＜a＜1 D．a＞

6.（2019 山東淄博中考模拟）數學著作《算術研究》一書中，對于任意實數，通常用[x]表示不超過x的最大整數，如：[π]＝3，[2]＝2，[﹣2.1]＝﹣3，給出如下結論：

①[﹣x]＝﹣x；

②若[x]＝n，則x的取值範圍是n≤x＜n 1；

③當﹣1＜x＜1時，[1 x] [1﹣x]的值為1或2；

④x＝﹣2.75是方程4x﹣2[x] 5＝0的唯一一個解．

其中正确的結論有（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．③④

7.（2019 河北衡水中考模拟）一元一次不等式組

的最大整數解是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．2

8.（2019 重慶中考）若關于x的一元一次不等式組

的解集是x≤a，且關于y的分式方程

﹣

＝1有非負整數解，則符合條件的所有整數a的和為（　　）

A．0 B．1 C．4 D．6

1. 填空題

1.（2019•呼和浩特）對任意實數a，若多項式2b2﹣5ab 3a2的值總大于﹣3，則實數b的取值範圍是　 　．

2.（2019•沈陽）二元一次方程組

的解是　 　．

3.（2019遼甯綏中中考模拟）一輛公交車每月的支出費用為3000元，乘車平均票價為1.5元/人，設每月有x人乘坐該公交車，每月收入與支出的差額為y元，當每月乘客量達到　　人以上時，該公交車才不會虧損．

4.（2019 山西大同中考模拟）已知m，n都是正整數，且

是整數．若

的最大值是a，最小值是b，則a b＝　 　．

5.（2019 河南安陽中考模拟）将一箱蘋果分給若幹個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友能分到不足5個蘋果．這一箱蘋果的個數是　 　，小朋友的人數是　 　．

6.（2019 山東青島中考模拟）某次知識競賽共有20道題，每答對一題得5分，答錯或不答的題都扣3分．小亮獲得二等獎（70～90分），則小亮答對了　 　道題．

7.（2019 河北張家口中考模拟）1月份，A型汽油均價為5.7元/升，B型汽油均價為6元/升，某汽車租賃公司購買這兩種型号的汽油共支付40800元；2月份，這兩種型号的汽油均價都上調了0.6元/升，該公司要購買與1月份A型汽油和B型汽油數量都相同的汽油就需多支付費用．

（1）若多支付的費用不超過4200元，那麼該公司1月或2月最多可購買A型汽油 　升？

（2）3月份，該公司A型汽油的購買量在（1）小題中2月份最多購買量的基礎上減少了m%，但A型汽油的均價在2月份的基礎上上調了

元，因此3月份支付A種型号汽油的費用與（1）小題中2月份支付最多數量A型汽油的費用相同，則m= 　．

1. （2019 山東濟南中考模拟）已知關于x、y的二元一次方程組的解滿足

x y＞2．求k的取值範圍 　 ．

1. 解答題

1.（2019•南通）解不等式

﹣x＞1，并在數軸上表示解集．

2.（2019•濟南）解不等式組

，并寫出它的所有整數解．

3.（2019 遼甯大連中考）如圖，是若幹個粗細均勻的鐵環最大限度的拉伸組成的鍊條，已知鐵環粗0.5厘米，每個鐵環長4.6厘米，設鐵環間處于最大限度的拉伸狀态

（1）填表：

（2）設n個鐵環長為y厘米，請用含n的式子表示y；

（3）若要組成2.17米長的鍊條，至少需要多少個鐵環？

4.（2019 河北滄州中考模拟）為增強居民節約用電意識，某市對居民用電實行“階梯收費”，具體收費标準見表：

某居民五月份用電190千瓦時，繳納電費90元．

(1)求x和超出部分電費單價；

(2)若該戶居民六月份所繳電費不低于75元且不超過84元，求該戶居民六月份的用電量範圍．

5.（2019•甯夏）解不等式組：

．

6.（2019•青海）某市為了提升菜籃子工程質量，計劃用大、中型車輛共30輛調撥不超過190噸蔬菜和162噸肉制品補充當地市場．已知一輛大型車可運蔬菜8噸和肉制品5噸；一輛中型車可運蔬菜3噸和肉制品6噸．

（1）符合題意的運輸方案有幾種？請你幫助設計出來；

（2）若一輛大型車的運費是900元，一輛中型車的運費為600元，試說明（1）中哪種運輸方案費用最低？最低費用是多少元？

7.（2019 河南中考）學校計劃為“我和我的祖國”演講比賽購買獎品．已知購買3個A獎品和2個B獎品共需120元；購買5個A獎品和4個B獎品共需210元．

（1）求A，B兩種獎品的單價；

（2）學校準備購買A，B兩種獎品共30個，且A獎品的數量不少于B獎品數量的

．請設計出最省錢的購買方案，并說明理由．

8.（2019 廣東中考）某校為了開展“陽光體育運動”，計劃購買籃球、足球共60個，已知每個籃球的價格為70元，每個足球的價格為80元．

（1）若購買這兩類球的總金額為4600元，求籃球，足球各買了多少個？

（2）若購買籃球的總金額不超過購買足球的總金額，求最多可購買多少個籃球？

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