銳角三角函數及其應用

類型一　仰角、俯角問題

1. (2015河南20題9分)如圖所示，某數學活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30°，朝大樹方向下坡走6米到達坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是48°.若坡角∠FAE＝30°，求大樹的高度．(結果保留整數．參考數據：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，根号3≈1.73)

【拓展猜押】如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟高樓頂部B的仰角為30°，看這棟高樓底部C的俯角為65°，熱氣球與高樓的水平距離AD為120 m．求這棟高樓的高度. (結果用含非特殊角的三角函數及根式表示即可)

拓展猜押題圖

2. (2014河南19題9分)在中俄“海上聯合—2014”反潛演習中，我軍艦A測得潛艇C的俯角為30°，位于軍艦A正上方1000米的反潛直升機B測得潛艇C的俯角為68°.試根據以上數據求出潛艇C離開海平面的下潛深度．(結果保留整數．參考數據：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，根号3≈1.7)

3. (2012河南20題9分)某賓館為慶祝開業，在樓前懸挂了許多宣傳條幅．如圖所示，一條幅從樓頂A處放下，在樓前點C處拉直固定．小明為了測量此條幅的長度，他先在樓前D處測得樓頂A點的仰角為31°，再沿DB方向前進16米到達E處，測得點A的仰角為45°.已知點C到大廈的距離BC＝7米，∠ABD＝90°.請根據以上數據求條幅的長度(結果保留整數．參考數據：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86)．

4. (2011河南19題9分)如圖所示，中原福塔(河南廣播電視塔)是世界第一高鋼塔．小明所在的課外活動小組在距地面268 米高的室外觀光層的點D處，測得地面上點B的俯角α為45°，點D到AO的距離DG為10 米；從地面上的點B沿BO方向走50 米到達點C處，測得塔尖A的仰角β為60°.請你根據以上數據計算塔高AO，并求出計算結果與實際塔高388 米之間的誤差．(參考數據：根号3≈1.732，根号2≈1.414.結果精确到0.1 米)

類型二　坡度、坡角問題

5. (2013河南19題9分)我國南水北調中線工程的起點是丹江口水庫，按照工程計劃，需對原水庫大壩進行混凝土培厚加高，使壩高由原來的162米增加到

176.6米，以擡高蓄水位. 如圖是某一段壩體加高工程的截面示意圖，其中原壩體的高為BE，背水坡坡角∠BAE＝68°，新壩體的高為DE，背水坡坡角∠DCE＝60°. 求工程完工後背水坡底端水平方向增加的寬度AC(結果精确到0.1米．參考數據：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，根号3≈1.73)

類型三　測量問題

6. (2009河南20題9分)如圖所示，電工李師傅借助梯子安裝天花闆上距地面2.90 m的頂燈．已知梯子由兩個相同的矩形面組成，每個矩形面的長都被六條踏闆七等分，使用時梯腳

的固定跨度為1 m，矩形面與地面所成的角α為78°.李師傅的身高為1.78 m，當他攀升到頭頂距天花闆0.05～0.20 m時，安裝起來比較方便．他現在豎直站立在梯子的第三級踏闆上，請你通過計算判斷他安裝是否比較方便？(參考數據：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70)

7. (2008河南20題9分)如圖所示，A、B兩地之間有條河，原來從A地到B地需要經過橋DC，沿折線A→D→C→B到達．現在新建了橋EF，可直接沿直線AB從A地到達B地．已知BC＝11 km，∠A＝45°，∠B＝37°，橋DC和AB平行，則現在從A地到B地可比原來少走多少路程？(結果精确到0.1km.參考數據：根号2≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)

1. 有關銳角三角函數的實際應用的解題步驟：①審題：通讀題幹結合圖形，在圖中找出與題幹相吻合的已知條件，弄明白哪些是已知量，哪些是未知量；

②構造直角三角形：将已知條件轉化為示意圖中的邊角關系，再結合問題，把所求的量轉化到與已知條件相結合的直角三角形中，若不能在圖中體現，則需添加适當的輔助線将其結合；

③列關系式：在直角三角形中選擇适當的銳角三角函數關系式進行求解；

④檢驗：解題完畢後，可能會存在一些較為特殊的數據，例如含有複雜的小數等.因此，要特别注意所求數據是否符合實際意義，同時還要注意結果有無要求保留的條件.

2. 在實際測量高度、寬度、距離等問題中，常結合視角知識構造“直角三角形”利用三角函數來解決問題，常見的構造的基本圖形有如下幾種：（1）構造一個直角三角形：

（2）構造兩個直角三角形：

①不同地點測量：

②同一地點測量：

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