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微積分的思維，是對傳統方法的降維打擊，大道至簡其實不難！的延續閱讀。

之前，我們已經了解了從微分到積分的轉換過程。其實，我們也可以反向推演從積分到微分的轉換過程。

對任一可導的函數y=f(x)，在區間x∈[a，b]上，有f(b) -f(a)，這是曲線y=f(x)在Y軸上的一段投影的長度。

把區間x∈[a，b]分割成無限個無限小，每個無限小記為△x，則有b-a=∞*△x。

那麼：

f(b) -f(a)=[f(b) -f(b-△x)] [f(b-△x) -f(b-2*△x)] ...... [f(a 2△x) -f(a △x)] [f(a △x) -f(a)]

因為△x/△x=1，又得到：

f(b) -f(a)=[f(b) -f(b-△x)]/△x*△x [f(b-△x) -f(b-2△x)]/△x*△x ...... [f(a 2△x) -f(a △x)]/△x*△x [f(a △x) -f(a)]/△x*△x

=f'(b)△x f'(b-△x)△x ...... f'(a 2△x)△x f'(a △x)△x

因為函數y=f(x)可導，我們把f'(b)~f'(a)，記作f'(x)，于是得：f(b) -f(a)=∫f'(x)dx，x∈[a，b]。

拿出式中一項，單獨表達：[f(x △x) -f(x)]/△x=f'(x)。因為[f(x △x) -f(x)]/△x要進行極限運算，表達式記作：

從上述的推演來看，導函數f'(x)是可以由原函數f(x)計算得出的，而原函數f(x)是由導函數f'(x)逆向推導得來的。為了能在微積分計算時，收放自如地推導原函數f(x)，我們需要先做好準備工作：求導數f'(x)。

下面，我們一起來了解幾個常見函數的求導過程。

1、常數函數y=C求導:

也可以記作：（C）'=0。

2、比例函數y=ax b求導，a、b為實數:

也可以記作：(ax)'=a。它也可以視為幂函數y=x^μ當μ=1時的一個特例。

3、指數函數y=a^x求導：

初中學數學的時候，我們先學的幂次方運算後學的指數運算，但求導數不一樣，指數函數能用正常的方法求，但幂函數需要借助指數函數的求導結果來求導。所以，我們先來了解指數函數的求導。

也可以記作：（a^x）'=a^x*lna。

當指數函數的底數取自然常數e，也就是a=e時，因為lne=1，所以（e^x）'=e^x。

4、幂函數的y=x^μ求導：

我們可以先求一個μ為正整數時的特例。取x=a，當x無限趨近于a時，就可以求出y=x^μ在x=a處的導數。

把a替換成x，就有（x^μ）'=μx^(μ-1)，把μ從正整數域推廣到實數域，這個結論也是成立的。但這是類比推論，（x^μ）'=μx^(μ-1)還需要去證明。這就需要借助指數函數y=e^x和對數函數y=lnx的求導結果以及複合函數的求導方法。我們先把證明貼出來，有需要補對數函數和複合函數求導課的同學，可以回頭再來看。

首先我們做一個很有意思的轉換：x=e^lnx。有的同學可能忘了對數的運算，那我們先證明一下這個等式。令e^lnx=y，則lnx=lny，x=y，所以x=e^lnx。那麼有：

了解了這幾個基本函數的導數，反過來求積分，一般的求面積或路程的問題，就不在話下了。

如果把微積分當作一門武功，那求導數就相當于打開了“任督二脈”。為了學好微積，讓我們來愉快地求導數吧！

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