1、最小的一位數是0還是1？

這個問題在很長一段時間存在争論。先來看看《九年義務教育六年制小學數學第八冊教師教學用書》第98頁“關于幾位數”的叙述：“通常在自然數裡，含有幾個數位的數，叫做幾位數。例如“2”是含有一個數位的數，叫做一位數；“30”是含有兩個數位的數，叫做兩位數；“405”是含有三個數位的數，叫做三位數……但是要注意：一般不說0是幾位數。

再來聽聽專家的說明：在自然數的理論中，對“幾位數”是這樣定義的，“隻用一個有效數字表示的數，叫做一位數；隻用兩個數字（其中左邊第一個數字為有效數字）表示的數，叫做兩位數……所以，在一個數中，數字的個數是幾（其中最左邊第一個數字為有效數字），這個數就叫幾位數。

于此，所謂最大的幾位數，最小的幾位數，通常是在非零自然數的範圍研究。所以一位數共有九個，即：1、2、3、4、5、6、7、8、9。0不是最小的一位數。

2、為什麼0也是自然數？

課标教材對“０也是自然數”的規定，颠覆了人們對自然數的傳統認識。

于此，中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說：國際上對自然數的定義一直都有不同的說法，以法國為代表的多數國家都認為自然數從0開始，我國教材以前一直都是遵循前蘇聯的說法，認為0不是自然數。2000年教-育-部主持召開教材改編會議時，已明确提出将0歸為自然數。這次改版也是與國際慣例接軌。

從教學實踐層面來說，将“０”規定為“自然數”也有着積極的現實意義。

2.1 “0”作為自然數的“好處”。

衆所周知，數學中的集合被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限個元素的集合，像某班學生的集合。無限集合是含有的元素個數是非有限的集合，如分數的集合。因為自然數具有“基數”的性質，因此用自然數來描述有限集合中元素的個數是很自然的。

但在有限集合中，有一個最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素個數為0。如果不把0作為自然數，那麼空集的元素的個數就無法用自然數來表示了。如果把“0”作為一個自然數，那麼自然數就可以完成刻畫“有限集合元素個數”的任務了。于此，從“自然數的基數性”這個角度，我們看到了把“0”作為自然數的好處。

2.2 把“0”作為自然數，不會影響自然數的“運算功能”。

“0”加入傳統的自然數集合，所有的“運算規則”依舊保持，如新自然數集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何兩個自然數都可以進行加法和乘法運算，而運算結果仍然是自然數。同時，加法、乘法運算的結合律和交換律，以及乘法的分配律也不會受到影響。

所以，“0”加盟到自然數集合實屬理所當然，而不僅僅是人為的“規定”。它讓我們更好地理解自然數和它的功能，同時也讓我們意識到教學時不僅要知道和記住數學的“定義”和“規定”，還應該思考“規定”背後的數學涵義。

3、什麼是有效數字、無效數字？

有效數字是對一個數的近似值的精确程度而提出的。同一個近似數如果在取舍時，保留的有效數字多，就比保留的有效數字少更精确。一般說，一個近似數四舍五入到哪一位，就說這個近似數精确到哪一位。

這時，從左邊第一個非零的數字起，到那一位上的所有數字都叫做這個數的有效數字。如近似數0.00309有三個有效數字：3、0、9；0.520也有三個有效數字：5、2、0。而0.00309中左邊的三個零，0.520中左邊的一個零，都叫做無效數字。

4、加法與減法、乘法與除法是否互為逆運算？

“加法與減法互為逆運算、乘法與除法互為逆運算”這似乎成了許多老師的口頭禅，這其實是一種誤解。例如：

加法“2＋3＝5”，其逆算為“5－2＝3”，“5－3＝2”。故此，加法的逆運算隻有減法；

減法“5－2＝3”，其逆算有 “5－3＝2”， “2＋3＝5”。故此，減法的逆運算有減法和加法兩種運算。

綜上可知，隻能說減法是加法的逆運算，而不能說加法與減法互為逆運算。

同理，也隻能說除法是乘法的逆運算，而不能說乘法與除法互為逆運算。

5、為什麼不寫“倍”？

在學習“求一個數是另一個數的幾倍”應用題時，很多小朋友會自然提出這樣的疑問，如：“飼養小組養了12隻小雞，3隻小鴨，小雞的隻數是小鴨的幾倍？”為什麼“12÷3＝4”的後面不寫“倍”呢？

我們首先應該肯定學生的質疑（學生有較強的解題規範意識）。但同時又該對學生說明：在解答應用題時，得數後面一般要寫上的是數的單位名稱。如：12隻的“隻”；8克的“克”。一個數隻有帶上單位名稱，才能準确地表示出一個物體的多少、大小、長短、輕重等等。但是，“倍”不是單位名稱，它表示兩個數量之間的一種關系。例如，上面的計算結果“4”，表示12裡面有4個3，就是12隻小雞是3隻小鴨的4倍。所以，在算式裡不寫“倍”，以免“倍”與單位名稱發生混淆。

6、“倍”和“倍數”的區别

在第一學段我們學習了“倍的初步認識”，認識了概念“倍”，而在第二學段,我們又學習到“倍數”這個概念。那麼，“倍”和“倍數”這兩個詞到底是不是一回事呢？這兩個詞之間有什麼區别呢？

“倍”指的是數量關系，它建立在乘除法概念的基礎上。例如：男生有10人，女生有30人，因為“10×3=30”或者“30÷10=3”，我們就說，女生人數（30）是男生人數（10）的3倍，也可以說，男生人數（10）的3倍等于女生人數（30）。勿甯說，“倍”其實表示的是兩個數的商（這個商可以是整數、小數、分數等各種表現形式）。

“倍數”指的是數與數之間的聯系，它建立在整除概念的基礎上。例如，30能被6整除，30就是6的倍數。可見，“倍數”是不能獨立存在的（具有特定的指向性），而且對數的形式有特别的要求（必須為整數）。

同時我們又看到，30也是6的5倍，因為6×5＝30，“6×5”表示6的5倍。所以從這個角度來說，“倍”的涵義應寬泛于“倍數”，後者可以視為前者在特定情形下的一種表現。

7、“時”和“小時”有什麼不同？怎樣使用“時”和“小時”？

首先應該明确的是，〔小〕時并非國際時間單位。在1984年國務院發布的《關于我國統一法定計量單位的命令》中，把秒作為時間的基本單位，把非國際單位制的時間單位天（日）、〔小〕時、分作為輔助單位。（注：〔〕裡的字，在不緻混淆的情況下，可以省略）。這樣，在我國範圍内使用的法定時間單位就有：天（日）、〔小〕時、分、秒。

由此，“時”既可以表示時間，又可以表示時刻。由于“時間”和“時刻”這兩個不同的概念容易産生混淆，在實際應用時間單位“時”時，現行教材作了如下處理：

7．1 當列式計算出時間的長短時，在得數的括号裡寫上時間的單位“時”。例如：

超市營業時間：21-9=12（時）。（此處可省略“小”字）

7．2 在用語言表述時間的長短時，為避免“時間”和“時刻”這兩個概念産生混淆，則在“時”的前面加上一個“小”字。例如：

超市營業時間12小時。

7．3 在用語言表示時刻時，一律不得出現“小時”字樣。例如：

公園每天早上7時30分開園（而非7小時30分）。

8、“路程”就是“距離”嗎？

這兩個詞在許多老師的教學語言中是替代使用的，其實不然。

“路程”是指從一個地點到另一個地點所經過路線的長度；而“距離”則指連接兩個地點而成的直線段的長度。

可以看到，“路程”所經過的路線可以是曲形線，也可以是直形線，還可能是折形線。一般情況下，兩個地點之間的“路程”要大于它們之間的“距離”，隻有當兩個地點之間的路線為直線時，路程和距離才相等。

9、最大的分數單位是1/2還是1/1？

先看看分數單位的含義：把單位“1”平均分成若幹份，表示這樣一份的數。

顯然，在分數意義中，關鍵是“分”，沒有“分”，就沒有“份”。因為把單位“1”平均分成的最少份數是2份（如果是1份，也就無所謂“分”），由此得到的分數單位是1/2，所以1/2是最大的分數單位。

盡管就廣義的分數來說，1/1也可視作分數，但它已不是我們通常意義上認識的與整數對立的那種分數（在平均分的基礎上所産生），故此，最大的分數單位應以1/2為宜。

10、像0/3、0.2/3、3/0.2這樣的數是不是分數？

分數的定義明确告訴我們:把單位“1”平均分成若幹份，表示這樣一份或幾份的數,叫分數。其中，分成的份數叫做分數的分母，要表示的份數叫做分子。由此可知，分數的分子和分母都應該是非零自然數。從這個意義來說，以上這幾個數徒具分數的形式，而不具分數的實質，因此都不應該視為分數。

進而，在考查學生對“分數”涵義的理解時，應着眼于通常意義上的分數，将上述這些變異形式納入思考的範圍，其本身對訓練學生的思維并無多大實際意義，而且會令諸如“分數都大于0”等命題的真與假陷入尴尬。

11、比6多1/2的數應該是“6 1/2”還是“6*(1 1/2)”？

要弄清這個問題，先得弄清“6”的性質。顯然，此處的“6”其實質是一個“數”，而非一個“量”，求“比6多1/2的數”應屬于“求比一個數多幾的數”的範疇，問題中的“多幾”都是确定的具體數，這裡的“幾”既可以是整數，也可以是小數或分數。所以，這裡的“1/2”是指在6的基礎上“多1/2”這個“1/2”數的本身，而非“6的1/2”。所以，“比6多1/2的數”應該是“6 1/2”。

當然，如果題目确定為“比6多它的1/2的數”，那答案則屬于後者。

12、計算出勤率可不可以不乘100%？

同一課程标準下，不同的教材給出了不同的理解，這給執教者帶來了困惑：到底可不可以不乘100%呢？筆者以為，求“××率”其結果必定為百分率。以出勤率為例，就是求實際出勤人數占應出勤人數的百分之幾。如果公式隻寫成：出勤率=實際出勤人數／應出勤人數，我們說這隻是分數形式（也即是求實際出勤人數占應出勤人數的“幾分之幾”），并不是百分數。因此，在公式後面乘上“100％”，既可以使計算數值大小不變，又能保證結果形式滿足百分數的要求。因此，計算出勤率、發芽率、出粉率、合格率……的公式中，都應乘“100％”。同時建議各版本教材的編委統一思想，以免給一線教師造成認識上的混亂。

13、少于90度的角都是銳角嗎？

根據課标教材定義：小于90度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的，但由此又産生一個新的問題：0度的角是什麼角，也是銳角嗎？

事實是，銳角定義有一個隐含的前提，就是小學數學中所讨論的角都是正角。習慣上，我們把射線按逆時針方向旋轉而得到的角叫做正角，射線按順時針方向旋轉而得到的角叫做負角，當一條射線沒有做任何旋轉時，就把它看成零角。如果将角的概念推廣到任意大小的角，就應分為正角、負角、和零角。

由此，嚴格意義上的銳角定義應是：大于0度而小于90度的角叫做銳角。

14、足球比賽記分牌上的“3：2”是數學中的“比”嗎？

我們至少可以從兩個方面來理解它們的差别。

第一， 球類比賽中的“3︰2”表示的是比賽雙方的得分情況，是“差”比，即表示相差關系，一方得3分，另一方得２分，雙方相差1分；數學中的“3︰2”表示的是“3÷2”，是“倍”比，商為1.5。有鑒于此，球類比賽中的“比”（其實是比分），其後數可以為0的，而數學中的“比”，其後數（相當于除數）是不可以為0的。

2︰1”；同樣的“4︰2”放在球類比賽中，卻不可以化簡，如果化簡就不能反映雙方在比賽中的實際得分了。

15、“改寫”和“省略”是一樣的嗎？

“改寫”與“省略”其本質是完全不同的。表現在：

（1）目的不同。“改寫”的目的是方便對大數的讀寫，而“省略”則是取數的近似值。

（2）方法不同。此處的“改寫”是去掉“億”位後面的0，再寫上一個“億”字，而“省略”除了要找準“億”位，還要考慮被省略的尾數的最高位是幾，然後用四舍五入法求出近似數。

（3）符号不同。“改寫”隻改變了數的表現形式，大小并未改變，所以用“=”号連接；而“省略”既改變了數的形式，又改變的數的大小，所以用“≈”連接。

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