小數老師說

也可能是小數老師研究北京的題目太多了，最近幾年沒有看到這種問題，不過既然在微信平台上有同學提問了，那小數老師就幫這個同學整理一下吧！小數老師研究了一下，全國卷考這種題目還是比較多的，但是現在的難度也比小數老師上學時的簡單了很多了！

找了最近的一些題目看了看，棱錐的外接球問題一般分為兩類：已知棱錐的相關條件，求外接球的表面積或者體積等；已知棱錐的外接球的一些條件，求棱錐的相關信息！下面通過兩道例題來看一下，這種題目該如何求解！

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1、 已知棱錐，求外接圓

例1、 已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的表面上，△ABC是邊長為1的正三角形，PC為球O的直徑，該三棱錐的體積是

，則球O的表面積是（ ）

A、4π B、8π C、12π D、16π

解析：本題已知三棱錐的體積與底面邊長，求球O的表面積，其實說白了，就是需要找到外接球的半徑，再利用公式就能得出結果了。所以，第一步就是畫圖，

通過題目我們可以知道，此三棱錐的底面為等邊三角形，那麼就可以知道，如果過點P向底面做垂線的話，垂足一定落在三角形ABC的邊BC的高上，也就是圖中的CD上，由于PC是外接球的直徑，因此取中點O，然後找到三角形ABC的外接圓的圓心C’，O’也在CD上，所以能得到OO’垂直于CD，所以OO’與PD平行，且OO’等于PD的一半，PD是三棱錐的高，根據三棱錐的體積就能求出高來，因此OO’的值也能求出來，而三角形OO’C是直角三角形，O’C是三角形ABC高的三分之二，因此列出方程，球的半徑就能求了。

具體解題步驟同學們自己補全吧！

答案選擇：A

例2、 已知正四面體ABCD的棱長為a，其外接球表面積為S1，内切球表面積為S2，則S1：S2的值為（ ）

A、3 B、 C、9 D、

解析：正四面體為載體，同學們真是沾大光了哈，棱長與底邊都相等，其性質也特别好，外接球的球心與内切球的球心是一個，都在正四面體的高上，接下來畫圖找幾何性質即可。

如圖：點O是正四面體外接球與内切球的球心，并且BO為外接球的半徑，OE為内切球的半徑，三角形BOE為直角三角形，E點為三角形BCD的邊CD上的高BF上的點，并且BE:EF=2：1，所以，根據這些條件進行列方程即可求出比值來。

答案選擇：C

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2、 已知外接圓，求棱錐

例3、 已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在半徑為2的球面上，且PA⊥平面ABC，若AB=2，AC=

，∠BAC=

，則棱PA的長為（ ）

A、

B、

C、3 D、9

解析：通過題意，可以得出三棱錐為牆角型的，如圖：

對于牆角型三棱錐，尋找外接球一般采取補形法，也就是以AB,AC,PA為邊做出長方體來，長方體的外接球與此三棱錐的外接球相同，而對于長方體來說，其外接球的直徑為長方體的體對角線，體對角線l與長方體的長a寬b高c的關系是：

，通過此關系，列方程即可得到結果。

答案選擇：C。

以上就是小數老師給大家的三個例題，同學們可以發現，不管是哪種類型，重點是要找到球心，也就是要把三棱錐的幾何性質搞清楚，同學們也不用擔心，現在考試題目都不是很難，大家重點研究正三棱錐，正四面體，和牆角型的三棱錐就足以應對了！加油吧！

有什麼想看的，歡迎大家發信息哈，小數老師精力有限，可能總結的不是那麼全面，但是小數老師一定以高考題為參考題型來分析每個知識點的哈！

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