（1）了解指數函數模型的實際背景.

（2）理解有理指數幂的含義，了解實數指數幂的意義，掌握幂的運算.

（3）理解指數函數的概念，理解指數函數的單調性，掌握指數函數圖象通過的特殊點.

（4）知道指數函數是一類重要的函數模型.

一、指數與指數幂的運算

1．根式

（1）n次方根的概念與性質

（2）根式的概念與性質

【注】

速記口訣：

正數開方要分清，根指奇偶大不同，

根指為奇根一個，根指為偶雙胞生．

負數隻有奇次根，算術方根零或正，

正數若求偶次根，符号相反值相同．

負數開方要慎重，根指為奇才可行，

根指為偶無意義，零取方根仍為零．

2．實數指數幂

（1）分數指數幂

③0的正分數指數幂等于0，0的負分數指數幂沒有意義.

（2）有理數指數幂

規定了分數指數幂的意義之後，指數的概念就從整數指數幂推廣到了有理數指數.整數指數幂的運算性質對于有理數指數幂也同樣适用，即對于任意有理數 ，均有下面的運算性質：

（3）無理數指數幂

對于無理數指數幂，我們可以從有理數指數幂來理解，由于無理數是無限不循環小數，因此可以取無理數的不足近似值和過剩近似值來無限逼近它，最後我們也可得出無理數指數幂是一個确定的實數.

二、指數函數的圖象與性質

1．指數函數的概念

2．指數函數 的圖象與性質

【注】速記口訣：

指數增減要看清，抓住底數不放松；

反正底數大于0，不等于1已表明；

底數若是大于1，圖象從下往上增；

底數0到1之間，圖象從上往下減；

無論函數增和減，圖象都過(0，1)點．

3．有關指數型函數的性質

(3)研究函數的奇偶性

一是定義法，即首先是定義域關于原點對稱，然後分析式子f(x)與f(−x)的關系，最後确定函數的奇偶性．

二是圖象法，作出函數的圖象或從已知函數圖象觀察，若圖象關于坐标原點或y軸對稱，則函數具有奇偶性．

考向一 指數與指數幂的運算

指數幂運算的一般原則

(1)有括号的先算括号裡的，無括号的先做指數運算．

(2)先乘除後加減，負指數幂化成正指數幂的倒數．

(3)底數是負數，先确定符号；底數是小數，先化成分數；底數是帶分數的，先化成假分數．

(4)若是根式，應化為分數指數幂，盡可能用幂的形式表示，運用指數幂的運算性質來解答．

(5)有理數指數幂的運算性質中，其底數都大于零，否則不能用性質來運算．

(6)将根式化為指數運算較為方便，對于計算的結果，不強求統一用什麼形式來表示．如果有特殊要求，要根據要求寫出結果．但結果不能同時含有根号和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.

考向二 與指數函數有關的圖象問題

【注】可概括為：函數y=f(x)沿x軸、y軸的變換為“上加下減，左加右減”．

考向三 指數函數單調性的應用

1．比較幂的大小的常用方法：

(1)對于底數相同，指數不同的兩個幂的大小比較，可以利用指數函數的單調性來判斷；

(2)對于底數不同，指數相同的兩個幂的大小比較，可以利用指數函數圖象的變化規律來判斷；

(3)對于底數不同，且指數也不同的幂的大小比較，可先化為同底的兩個幂，或者通過中間值來比較．

2．解指數方程或不等式

簡單的指數方程或不等式的求解問題．解決此類問題應利用指數函數的單調性，要特别注意底數a的取值範圍，并在必要時進行分類讨論．

考向四 指數型函數的性質及其應用

1．指數型函數中參數的取值或範圍問題

應利用指數函數的單調性進行合理轉化求解，同時要特别注意底數a的取值範圍，并當底數不确定時進行分類讨論．

2．指數函數的綜合問題

要把指數函數的概念和性質同函數的其他性質(如奇偶性、周期性)相結合，同時要特别注意底數不确定時，對底數的分類讨論.

【名師點睛】

1. 由函數的解析式判斷函數圖象的形狀時，主要利用排除法進行．解題時要注意以下幾點：

（1）先求出函數的定義域，根據定義域進行排除；

（2）利用函數的性質進行判斷，即根據函數的單調性、奇偶性、對稱性進行排除；

（3）根據函數圖象上的特殊點的函數值進行判斷或根據函數的變化趨勢進行判斷．

2.解決函數中恒成立問題的常用方法：

（1）分離參數法．若所求範圍的參數能分離出來，則可将問題轉化為 （或 ）恒成立的問題求解，此時隻需求得函數 的最大（小）值即可．若函數的最值不可求，則可利用函數值域的端點值表示．

（2）若所求的參數不可分離，則要根據方程根的分布或函數的單調性并結合函數的圖象，将問題轉化為不等式進行處理．

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