1. Collatz 猜想

随意選一個大于零的正整數，如果它是偶數，那麼将它除以2；如果它是奇數，那麼将它乘以3再加1。對于得到的新的數，重複操作上面的運算過程。如果你一直操作下去，你每次都終将得到1。有些數字将需要非常多的步驟後才收斂到1，例如27這個數字，最終收斂到1需要112步。

數學家們試驗了數百萬個數，至今還沒發現哪怕一個不收斂到1的例子。然而問題在于，數學家們也沒辦法證明一定不存在一個特殊的數，在這一操作下最終不在1上收斂。有可能存在一個特别巨大的數，在這一套操作下趨向于無窮，或者趨向于一個除了1以外的循環的數。但目前沒有人能證明這些特例的存在。

2. 移動沙發問題

你要搬新家了，想把你的沙發搬過去。問題是，走廊有個轉角，你不得不在角落位置上給沙發轉方向。如果這個沙發很小，那沒什麼問題。如果是個挺大的沙發，估計得卡在角落上。如果你是個數學家，你會問自己：能夠在角落上轉過來的最大的沙發有多大呢？這個沙發不一定得是矩形，可以說任何形狀。

這便是“移動沙發問題”的核心，具體來說就是：二維空間，走廊寬為1，轉角90°，求能轉過轉角的最大二維面積是多少？

能轉過轉角的最大二維面積被稱為“沙發常數”（the sofa constant。沒人知道它到底有多大，但我們知道有一些相當大的沙發可以轉得過去，所以我們知道沙發常數一定比它們大；也有一些沙發無論如何都轉不過去，因此沙發常數一定比這些轉不過去的面積小。迄今位置，我們知道沙發常數落在2.2195到2.8284之間。

3. 完美立方體問題

還記得勾股定理，A2 B2 = C2 嗎？A、B、C三個字母表示直角三角形的三邊長。畢達哥拉斯三角形指的是三邊長都是整數的直角三角形，即滿足A2 B2 = C2且A、B、C都是整數。現在我們将這個概念擴展到三維，在三維空間，我們需要四個數A、B、C和G。前三個數是立方體的三維邊長，G是立方體的空間對角線長度。

正如有些三角形的三邊都是整數一樣，存在一些立方體的三邊和體對角線（A、B、C和G）都是整數，但對于立方體來說還有三個面對角線（D、E和F），這就帶來一個有趣的問題：有沒有立方體滿足這個7個邊長都是整數的條件呢？

問題的目标在于找到一個立方體滿足A2 B2 C2 = G2，且全部的邊和對角線長度都是整數，這種立方體被稱為完美立方體（perfect cuboid）。數學家們測試了各種不同的可能構型，還沒找到任何一個滿足條件的情況。但他們也不能證明這樣的立方體不存在，因此搜尋完美立方體的工作還在繼續。

4. 内接正方形問題

随手畫一個閉合曲線，這個曲線不一定要是圓，可以是任何你想要的形狀，但曲線的起終點必須重合且曲線不能穿越自身，在這個曲線上可能找到四個點連成一個正方形。内接正方形假設的内容就是，每條閉合曲線（确切來說是每個平面内的簡單閉合曲線）一定有一個内接正方形，這個正方形上四點都在這個閉合曲線上的某處。

許多閉合曲線上内接其他形狀的問題都已經得到了解決，例如矩形或者三角形等，但正方形卻有點複雜，至今數學家們還沒有搞明白這個問題的正式證明。

5. 美好結局問題

這個問題之所以被命名為“美好結局問題”，是因為它促成了一對數學家的美好姻緣：數學家George Szekeres和Esther Klein都曾緻力于解決這一問題，他們最終結婚了（而這個問題仍未解決）。概括來說，這個問題是這樣的：

在一張紙面上随機放置5個點，假設這5個點排布不特殊（比如排在一條直線上），你總能找到其中四個點構成凸四邊形，也即四個邊夾角小于180°的四邊形。這個定理的要點在于，不管這5個點的位置排布如何，你總能在5個點中構造一個凸四邊形。

這是四邊形的情況，而數學家發現，為了确保構造出一個凸五邊形，似乎需要9個點；對于六邊形則需要17個點，但此外更多邊形的情況我們不清楚。構造七邊形和更多變形需要多少點，依然是個謎。更重要的是，理應有一個公式告訴我們對于某一邊數，需要多少個點。科學家們認為這個公式可能是M=1 2N-2，其中M是點數而N是邊數。但至今為止數學家們能夠證明的也就是上述這些有限範圍内的結論了。

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