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無理數的定義及常見類型

生活更新时间:2024-09-14 03:17:31

一直以來教育這一塊都是一個大的範圍，牽涉面大，涉及廣。那麼作為教育裡的一大類——數學，更為重要，數學的重要性，相信接觸學習的都知道，數學總是無處不在。那麼，我們也知道，教育裡都是有專有名詞，而數學我們也有專業術語，那麼我們該如何用數學語言來定義無理數？

無理數的定義及常見類型（如何用數學語言來定義無理數）1

有理數把差的絕對值作為距離，在此距離意義上并不完備（完備定義：柯西列（柯西列定義：一個數列，越往後任意兩項的距離越小）有收斂點）。為了把它完備化，需要引入有理數列，每個數列作為一個數（數學的數不都是用來數數的，比如複數，四元數，隻要我們需要，就可以定義數），這樣的話就完備了（需要證明有理數列的柯西列也是在有理數列裡的）。

無理數的定義及常見類型（如何用數學語言來定義無理數）2

完備的好處有很多，因為很多定理的條件是柯西列收斂就怎麼怎麼樣……另一種定義無理數的方法是戴德金分割，這也是我最愛的方式。戴德金分割是這樣的兩個由有理數組成的集合：我們把它稱作左集和右集，左集的每一個元素都比右集的任意元素要小，并且左集和右集的并集是整個有理數集。那麼這就有三種情況，一個是左集有一個最大的元素，一個是右集有一個最小的元素，第三種情況就是左集沒有最大元素右集沒有最小元素。

無理數的定義及常見類型（如何用數學語言來定義無理數）3

這第三種情況的戴德金分割就确定了一個無理數。就比如說，考慮一個戴德金分割，凡是其平方比2小的有理數就放到左集，其平方大于等于2的就放到右集，這顯然是一個合理的戴德金分割。但是左集中沒有最大的元素，右集中沒有最小的元素，這時候它就确定了一個無理數。當然我們知道平時我們習慣把這種分割出的數字叫做根号2。

無理數的定義及常見類型（如何用數學語言來定義無理數）4

教育事業就是這麼看似平凡而又有意義的事，就像數學中的定義一個無理數，本來看上去是小事，都這麼有意思，這大概就是數學獨有的魅力了吧。

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