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關于向量和三角形重心的結論

教育更新时间:2025-01-14 02:41:32

三角形的歐拉線、三角形重心、垂心、外心的向量問題，高考數學壓軸題多選題。

關于向量和三角形重心的結論（三角形的歐拉線）1

這個題目非常的困難，我們一起來分析一下。著名的數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，并且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線我們稱之為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理。

已知三角形ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M點為BC的中點，且AB=4，AC=2。我們先看一下這個圖，則下列各式正确的是哪幾個？

關于向量和三角形重心的結論（三角形的歐拉線）2

本題是一道多選題，第一個研究的平面向量的數量積與重心相關，重心有什麼性質？我們要牢記重心分中線為2 : 1，理解重心的向量式或根據我們前面講的平行走路法進行分解，得着重心的向量式，進而将所求向量按照向量AB和AC進行分解，就可以得到數量積。

關于向量和三角形重心的結論（三角形的歐拉線）3

第二個選項，三角形的外心相關，凡是遇到與外心相關的問題，我們都要兩大思路，一是借助平面直角坐标系中垂線的交點，借助坐标求解，二是巧用投影法将平面向量數量積轉化成線段長度問題。

關于向量和三角形重心的結論（三角形的歐拉線）4

第三個選項，研究三角形垂心與重心的關系，我們在平面向量專欄做了詳細的說明，可以借助平面幾何知識，也可以借助坐标運算（建系、求高線方程、求交點H），也可以借助平行走路分解法進行轉移求解。

關于向量和三角形重心的結論（三角形的歐拉線）5

第四個選項有難度，難在思路上，一定要落實三角形四個心之間的關系，轉移就行了。

關于向量和三角形重心的結論（三角形的歐拉線）6

這是一道非常經典的例題，希望大家認真落實。如需系統學習請查看高考數學總複習專欄，詳見下面的目錄及專欄小卡片，已更新853課（15天通關高考數學總複習），适合高二、高三年級的學生使用。總目錄可以回複“目錄”兩個字。

關于向量和三角形重心的結論（三角形的歐拉線）7

高考數學總複習，配套兩大壓軸題，高考無敵。

關于向量和三角形重心的結論（三角形的歐拉線）8

關于向量和三角形重心的結論（三角形的歐拉線）9

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