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高斯著作中文版

高斯最主要的學術貢獻

高斯被後人譽為“數學王子”．這種贊譽恰如其分，他是數學史上一個轉折時期的傑出代表人物，起着承上啟下的作用．18 世紀的數學處于由微積分的創立而促成的分析學蓬勃發展的時代，它的代表人物往往毫不顧及推理的嚴格性，而得到大量跟天文學、力學等自然科學有聯系的分析學成果．數論、代數和綜合幾何方面隻有較零散的結果．高斯強調數學作為一門嚴謹的科學，必須要追求明确的定義、清晰的假設、嚴格的證明以及成果的系統化，倡導了至今已延續近 200 年的現代數學傳統。

《算術研究》是高斯最具代表性的著作．該書共分七節．第一節：一般同餘．定義有理整數模一個自然數同餘的概念；證明同餘的基本性質(包括除的算法)．第二節：一次同餘．證明整數分解成素數的唯一性；定義最大公因子和最小公倍數；導入同餘的符号。第三節：幂剩餘．研究給定數的幂模(奇)素數的剩餘，其基礎是費馬小定理。以上三節是高斯為讀者閱讀書的主要部分而首次系統表述的初等數論知識．第四節：二次剩餘．這一被譽為數信紙中的“酵母”的定理最早為歐拉提出，勒讓德作過繁雜的讨論，但都未給出正确的證明．高斯在證明中首先論證定律對某些素數成立，然後通過對素數的完全歸納法證明之．高斯一生中給出過二次互反律的六個不同的證明．1817 年高斯就其證明之一發表評論時說：“高級算術的特點是，通過歸納愉快地發現許多最漂亮的定理，但要證明它們……常常要經過多次失敗，最終的成功依賴于深刻的分析和有幸發現的某種結合，數學這一分支中不同理論間的奇妙結合．”他認為尋找定理的新證明“絕非多餘的奢侈品，有時候，你開始并沒有得到最美和最簡單的證明，而恰是這種證明才能深入到高級算術的真理的奇妙聯系中去．這是吸引我們去研究的主要動力，并常能使我們發現新的真理．”這反映了高斯對純數學研究的看法．第五節：二次型．該節主要部分的基礎來源于拉格朗日，高斯從他的工作中抽象出型的基本性質、型的變換及等價概念，将型的理論系統化并加以發展，如對給定判别式的型的各個類，皆可選取一個型為其代表，高斯給出了選擇最簡單的代表的準則；他證明了有關型的複合的重要定理，讨論了用型表示數的問題．第六節：應用．提出了上節引入的概念的重要應用，主要涉及部分分數、循環小數、解同餘方程以及區分合成數和素數的準則等．第七節：分圓問題．這是高斯于 1896 年宣布已完成正十七邊形作圖後首次公開它的理論基礎。

《算術研究》系統總結了前人的工作，解決了一批最困難的著名問題，系統地形成了一批概念和問題，它直接影響了其後一個世紀的研究模式，實為現代數學史上第一部結構嚴謹的數論巨著．高斯曾稱“數論是數學中的女皇”，足見他對數論的重視．在他的科學日記及手稿中，還記載着他的其他數論發現，重要的有：

（1）根據瑞士數學家 J．蘭伯特的素數表和他自制的素數表，對素數的分布作出猜測；

(2)通過實例找到雙紐線函數的周期與算術-幾何平均的關系，并給出了證明；

（3）寫于 19 世紀早期的一些手稿表明，高斯已熟悉了最終由 F．克萊因等人完成的一種模函數的理論的基本要領．他是從二次型的約化理論出發到達模函數論的．高斯還掌握了模函數的幾何表示．

（4）提出奇異級數，後在數論發展中變得十分重要；

（5）在研究四次剩餘的理論時，将整數概念推廣到複域；他還對幾種特殊情形證明了四次互反律．

(6)提出二元和三元二次型的代數理論有相應的幾何模拟(1830)，這是數的幾何理論的一個發端．

高斯是 19 世紀分析嚴格化的先軀之一．他在 1813 年發表了“無窮級數……的一般研究”，對超幾何級數做出了詳細的研究。

高斯對複函數論也作出了開創性的貢獻．在給貝塞爾的一封信(1811 年 12 月)中，他描述了複函數沿複平面上的曲線積分的方法，以及複函數基本定理．因高斯未公開發表他的成果，而 A．L．柯西的表述較為完整，現稱此定理為柯西積分定理．高斯在複分析方面的另一重要成果是獲丹麥哥本哈根科學院獎的那篇文章．它實際上解決了任一曲面保形變換到任何另一曲面上的解析條件問題．高斯的幾何學研究，使他實現了 19 世紀最富革命精神的兩項幾何創造：非歐幾何和内蘊微分幾何．

關于非歐幾何，高斯生前從未正式發表他的成果，但從其通信、科學日記及手稿中，可清晰看到他的思想發展脈絡，證明他是最早認識到存在非歐幾何的數學家．

(1)1799 年 9 月，他在科學日記中記道：“在幾何基礎的問題上，我們獲得了很好的進展．”

(2)同年，W．波爾約在給高斯的信中自稱能從歐幾裡得的其他公理公設推出平行公設．高斯在 12 月 17 日的回信中婉言否定了波爾約的結論，并說“我可以從存在面積為任意大的直角三角形的假設，嚴密地導出平行公設．大多數人肯定會把它當作公理．但我不這樣做，因為我相信不管三角形三個頂點離得多麼遠，其面積可能永遠在某個限度以内．”

(3)在 19 世紀初，數學家們已經知道如平行公設不成立，則可導出存在絕對長度單位．但因無法找到這樣的單位，勒讓德于 1794 年認定這反而是使人相信平行公設的理由．高斯在給天文學家 C．L．格林的信(1816)中表示，絕對長度單位的存在固然值得懷疑，但他無法從存在絕對單位推出任何矛盾．他覺得有一絕對長度單位反而更好，并說：“人們可以取角度為 59°59′59″9999 的等邊三角形的邊長為單位長度．”

(4)1824 年，高斯在回答 F．A．陶裡努斯“證明”平行公設的來信時寫道：“由三角形的内角和小于 180°的假設可導出一種奇異的幾何，它跟歐幾裡得幾何大相徑庭，但其本身卻是相容的．”高斯接着說此類幾何由某一常數所确定，“這常數越大，這幾何就越接近歐氏幾何，當它變成無窮大時，兩種幾何就一緻了．”高斯當時未指出這常數(即絕對單位)的值．實際上它可通過空間曲率 K 來表示。

高斯一直認為幾何是和力學一樣應能以實踐檢驗的科學，他又十分熟悉測量時的誤差估計，而在當時的條件下尚不可能對非歐幾何進行有說服力的檢驗，高斯可能是不願意公布會引起争論而無法作出最終判決的理論．

關于高斯的内蘊微分幾何思想，集中體現在《曲面的一般理論》中．

（1）以曲面的參數方程為研究的出發點，定義弧長元素，并給出曲面上曲線間夾角的定義．

（2）推廣 C．惠更斯和 A．C．克萊羅關于平面曲線曲率的概念，定義了一個曲面在曲面上一點處的曲率，稱為高斯曲率，高斯在各種坐标系(曲線坐标和直角坐标)中給出了曲率用曲面的偏導數表示的公式，證明曲率 完全跟曲面是否在三維空間中或曲面在三維空間中的形态無關．因此當曲面無伸縮地彎曲時，曲面的所有性質(包括曲率)亦保持不變．這就提出了幾何史上一個全新的重要概念，即一張曲面本身就是一個空間．

（3）研究了曲面上的測地線，證明了測地線構成的三角形的著名定理.

天文學

高斯曾在給 W．波爾約的信中說，天文學和純粹數學是他靈魂的指南針永久指向的兩極，表明天文學在高斯心目中的地位．高斯是在天文學史上的一個重要時期介入這一領域的．在 1800 年前後，由于技術和光學儀器的進步，以及觀測資料的系統積累，已編制出西方天文學界的第一部可靠的天象圖，這對發現新天體大有裨益；又由于外行星的發現(1781 年發現天王星)，為理論天文學提出了更精确計算行星攝動的問題．1801 年 1 月 1 日，意大利天文學家 J．皮亞奇(Piazzi)新發現一顆亮度為 8 等的星，到同年 2 月 11 日，人們僅觀測到它在其軌道上運行了9°，它便行至日光中而無從繼續觀測．全歐洲的天文學家都期待重新發現這顆現定名為谷神星的小行星．高斯根據拉普拉斯的方法和他在算術幾何平均方面的知識，詳細計算了谷神星的星曆表，預測了它再次出現的時間和位置．高斯的方法載于《天體沿圓錐曲線的繞日運動理論》，其新思想是充分利用半徑向量掃過的扇形面積與相應三角形的比值．高斯不必事先假設被觀測天體的運行軌道是橢圓還是雙曲線，隻要根據三次完全觀測(即包含時間、赤經和赤緯的觀測)就能算出運行軌道的特性．高斯方法的普适性使得整個計算比前人針對不同天體使用不同的特殊方法要複雜，但它對新發現的星體軌道的計算有本質的優越性，特别是當觀測資料像初次發現谷神星那樣十分匮乏時(此時很難區分該星是彗星還是行星)．高斯的方法遂成為計算天文學的經典．在上述著作中，高斯首次發表他的最小二乘法，這是他整理觀測數據必不可少的工具．1812 年他在緻拉普拉斯的信中稱，自 1802 年起幾乎每天用最小二乘法計算新的行星軌道．在 1803 年他還和阿爾伯斯讨論過這種方法，高斯的遺稿證實了上述說法．可見高斯和勒讓德同為此方法的獨立發明者，不存在剽竊問題。

高斯在“确定行星對任意點的引力……”以及一些手稿中，繼牛頓和拉普拉斯創立天體攝動學說後，提出了一種分析攝動問題的具體模型，即将行星質量假想為按一定方式分布于整個運行軌道上，據此計算星體間的互相影響，探讨了長年攝動問題，對攝動理論做出了基礎性貢獻．高斯對實用天文學的貢獻除積累了幾十年的觀測資料，預報新發現的小行星軌道外，還自制天文儀器六分儀，為提高觀測精度而從事幾何光學研究，改進了望遠鏡的質量。

測地學

高斯在實施漢諾威公國的測地計劃的實測工作中，使用傳統的三角測 量法，即從長度精确測定的基線出發，選定一個三角形網絡将所測的地域 覆蓋．各三角形的頂點的選取，至少應能保證從兩個方向上對其進行目力 觀測．測出各三角形内角的精确值是提高測地精度的關鍵．由于地形千變 萬化，儀器精度不高，使實測工作費時費力；測量時不可避免的随機誤差 也給數據處理提出了新課題．高斯首先設計了日光反射信号器以提高觀測 精度．該儀器的主要部件是一面能旋轉的鏡子，配以必要的光學儀器(如小望遠鏡)，它在測量時既可作為發光的被測目标，又可用于傳遞信息， 成為三角測量的标準儀器．借助這一發明，高斯能進行遠距離的觀測(反 射光在 15 英裡遠處仍相當于一等星的亮度)，即使在天空有雲，無直射陽 光照射的條件下仍能保證觀測繼續進行．這一儀器到 1840 年才為其他人 改進．高斯還曾設想用 100 個平面鏡(每個為 1.5×1.5 平方米)制作巨大 的反射器，它可将日光反射到月球表面，如果能把天文學家送上月球，他 們就能根據反射光輕而易舉地決定經度差． 在測地的理論工作方向，高斯依據前述保形變換的一般理論，給出了 平面到平面、球面到平面和旋轉橢球面到球面的保形映射實例．他還在 《……哥廷根與阿爾唐納兩天文台之經度差》一文中，首次提出可将地球 表面視為在其上每點與重力方向相垂直的幾何面，以後發展出他的位勢理 論．高斯的測地工作總結于他的論文“高等測地學研究” 。

高斯的工作後為德國測地學家所發展，著名的高斯-克呂格爾投影即是其一，它是橫向墨卡托投影的推廣．曾有人對高斯花費巨大精力于野外測量表示婉惜．貝塞爾于 1823 年就勸告他放棄實地觀測，以免虛度年華．高斯回信說：“世上所有的測繪與度量，确實比不上哪怕是将科學真理向前推進一步來得有份量．”但他覺得“不可能凡事都用一種絕對的标準去衡量”，還“應該考慮相對的價值．”無論如何，高斯覺得他為國家做了一件實際有效的工作而感到寬慰，況且因此而獲得的津貼徹底改善了他的經濟狀況．

物理學

高斯在物理學方面的第一項成果是于 1829 年提出的力學中的最小約束原理：一個系統的運動将盡可能少地偏離其自由運動的狀态，偏離的程度由各部分質量乘其偏離自由運動路徑的距離平方的總和來度量．這是著名的達朗倍爾原理的一種新的等價形式，它明顯跟最小二乘法有關，高斯則自稱這項成果受益于對毛細現象的研究．後者的成果總結于 1830 年那篇“論平衡狀态下流體性質……”的文章，其中有涉及重積分、邊界條件和可變積分界限的變分問題的漂亮解答，給出了平衡流體理論的一個基本定理．高斯說他對流體性質的研究是純理論性的，屬于理論物理學的一種練習，是想看看到底有哪些數學能用于說明自然現象。

高斯在物理學上的驚人之舉是和韋伯合作發明了世界上首例電磁電報．其理論依據來自 H．C．奧斯特發現的電流會使磁針偏轉(1820)和 M．法拉第發現的感應電流．他們的電報裝置，一端(發報機)是可沿磁棒移動的感應線圈，另一端(收報機)是線圈及用細線懸挂的磁針，中間以導線将兩端線圈聯成回路(帶開關)．利用感應線圈的移動和開關的開斷，可産生磁針朝兩個方向(向左←或向右→)的偏轉，即傳遞兩種信号．高斯和韋伯規定了字母與偏轉方向間的對應關系．高斯和韋伯合作的地磁學研究達到了更深的理論層次．洪堡的全球地磁觀測計劃，目标是測定地磁強度、磁偏角和磁傾角随時間和地點的變化，以建立令人滿意的地磁理論．高斯首先為磁的度量确立了一套“絕對單位制”(1832)．他的基本想法是磁(他稱作磁流)能夠而且應該以其效應來度量，他定義單位“磁流”為如下強度的力：以單位磁強排斥相隔一單位距離的另一單位“磁流”．他選定力學中度量長度、質量和時間的慣用單位毫米、毫克和秒為基本單位，借助庫侖定律将它們引伸到磁學(以至靜電學)中，确立了度量磁場強度的标準，韋伯運用這一思想建立了電動力學的絕對單位制．他們的這套單位制在 1881 年經适當修改後為國際物理學界所接受，即所謂的厘米·克·秒單位制，高斯的名字被選作磁場強度和磁感應的單位名稱．

高斯一生中多次關注過幾何光學的理論問題，為消除光學儀器的色差，他提出将不同質地的凸透鏡與凹透鏡組合使用，即所謂的高斯物鏡它不僅可用于望遠鏡，也可用于顯微鏡．《光的折射研究》是高斯主要的光學著作，他分析了光通過一組鏡片的路徑，證明了任一組鏡片可等價于适當選擇的單個鏡片。

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