小學生的數學思維模式大多為“純粹的定量計算，試數，或者是找規律”，而真正在性質層面的分析幾乎為0。

唯獨數論，需要我們進行“定性分析”，也就是依據“性質”來分析。這種獨有的特征使得數論對孩子嚴密的分析能力有着較高的要求。奇偶性問題作為數論的組成部分，在小升初或杯賽中通常考察兩個方面：一是聯系生活考察學生的探究操作能力和實際運用能力；二是結合其他代數知識點來考察學生的綜合分析能力。

①奇數：被2除餘1的數，用2k 1表示（k為整數）。

②偶數：被2除沒有餘數的數，通常用2k表示（k為整數）；因為0被2除沒有餘數，所以0也是偶數。

①性質1：偶數±偶數=偶數；奇數±奇數=偶數；偶數±奇數=奇數；

②性質2：偶數×奇數=偶數；奇數×奇數=奇數；偶數×偶數=偶數；

偶數÷奇數=偶數；奇數÷奇數=奇數；偶數÷偶數=偶數；

③性質3：任意2個整數a、b ,a b與a-b、a×b與a÷b同為奇數或同為偶數。

①奇偶性操作性問題——看最終要達到什麼效果

即弄清一件事情的初始狀态，進行偶數次操作，會回到初始狀态；進行奇數次操作，會和初始狀态相反。

【例】桌上放有2013枚正面朝下的硬币，第一次翻動其中1枚，第二次翻動其中的2枚，第三次翻動其中的三枚，……第2013次翻動2013枚，經過2013次翻動後，能否使這2013枚硬币正面朝上？說明理由？

【解析】

開始時每一枚硬币都是正面朝下，要使所有硬币正面朝上，則每一枚硬币都需要操作奇數次。一共操作的次數為：1 2 3 …… 2013=（1 2013）×2013÷2=2013×1007，相當于2013枚硬币，每一枚都操作了1007次，即2013個奇數1007相加，所以這2013枚硬币都可以操作奇數次，故這2013枚硬币都可以正面朝上。

②結合代數知識綜合考察——設數列式

即先根據題目設需要的未知數，然後列式，根據奇數和偶數的運算性質分析式子的結構，進而判斷式子的奇偶性。

【例】能否找到一個自然數，使其加上24和減去30所得兩個數為完全平方數？

【解析】

設這個數為x，這兩個平方數分别為a×a和b×b

x＋24=a×a①

x－30= b×b②

①–②得：54=a×a－b×b

54=1×54=2×27=3×18=6×9

a×a－b×b=（a＋b）×（a－b）

因為a＋b和a－b同為奇數或者同為偶數

而54的所有分解中都是一個奇數和一個偶數在相乘

所以不成立，故找不到。

【例】“走進數學王國”競賽武昌區共有2010位同學參加，每人都要答15道題，若初始分為15分，規定：答對一題給5分,不答扣1分，答錯一題扣3分，則最後得分必定是（ ）（填“奇數”或“偶數”）

【解析】

設答對x道題，不答y道題，則答錯（15－x－y）道題

每人得分為15＋5x－y－3×（15－x－y）=8x＋2y-20

因為8x是偶數，2y是偶數，20也是偶數

所以8x＋2y-20也為偶數，故最後每人得分為偶數

所以2010位同學總分也為偶數。

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