當一個事件的發生滿足以下條件時，可以認為這個事件在某一固定時間段内的發生次數滿足柏松分布。

• 事件是獨立發生的
• 事件發生的概率在給定的固定時間内不随時間變化

總結起來就是，事件的發生是随機且獨立的。

泊松分布的概率質量函數：

x表示一段時間内事件發生的次數，λ表示一段時間内事件發生的平均次數。

舉個例子：

假設某媒體平台一天的用戶廣告轉化數平均為1次，每天的廣告轉化數就滿足泊松分布。

那麼根據泊松分布，我們想知道該媒體平台每周廣告轉化數為10次的概率，應該怎麼算？

首先，固定時間由一天增加到一周，一周的平均點擊則為7次，泊松分布的λ為7，要求轉化數為10次的概率，泊松分布的概率質量函數的輸入x為10，代入公式可以求出:

可以得出該媒體每周廣告的轉化數為10次的概率為0.070983。

根據上例，将時間考慮進泊松分布的概率質量函數，可以得到：

x表示單位時間内事件發生的次數，λ表示單位時間内事件發生的平均次數，t表示t個單位時間，N(t)表示關于時間的某種函數。

回顧二項分布的概率質量函數：

我們依然拿上面舉的例子來探索泊松分布與二項分布的關系。

假設某媒體平台一天的用戶廣告轉化數平均為1次，一天廣告點擊的次數平均為1000次，那麼廣告的點擊轉化率為0.1%，我們現在根據二項分布來計算，該媒體平台每周廣告轉化數為10次的概率。

首先，時間範圍是一周，那麼一周的廣告的平均點擊數為7000次，廣告的點擊轉化率依然是0.1%不會随時間變化而改變，那麼将n為7000，x為10，p為0.1%代入二項分布的概率質量函數求出：

可以看出該媒體每周廣告的轉化數為10次的概率為0.070988。對比上面利用泊松分布的公式計算的值，發現二者值非常的接近，這是一種巧合還是一種必然？下面我們從二項分布的概率質量函數着手，由于二項分布中λ=np，将p=λ/n代入看看能有什麼發現。

當n趨近于正無窮時，

驚奇的發現當n趨于正無窮時，二項分布的概率質量函數和泊松分布的概率質量函數相同。看來在例子中的結果非常接近不是巧合。所以我們可以利用泊松分布來估算二項分布。這樣做的原因主要有兩個：

• 簡化計算
• 一個問題可以在概念上用二項分布去理解，但是二項分布的具體n和p未知，而是已知λ

指數分布針對兩個事件發生的時間間隔，與泊松分布不同，泊松分布是離散型分布，指數分布是連續型分布。如果單位時間内事件的發生次數滿足泊松分布，那麼事件發生的時間間隔滿足指數分布。指數分布的概率密度函數是：

概率分布函數則為：

λ表示單位時間内事件發生的平均次數，t表示t個單位時間。

可以從泊松分布來理解指數分布。對于泊松分布，t時間内事件發生次數為0的概率為：

t時間内事件發生次數為0的另外一種理解可以是，事件第一次發生的時間T要大于t。

即

那麼事件在t時間内發生的概率為：

與指數分布的概率分布函數保持一緻。

同一個例子，假設某媒體平台一天的用戶廣告轉化數平均為1次，我們想知道該媒體平台在第2天到5天内完成一次轉化的概率，就可以根據指數分布來計算。

首先，一天内的平均轉化數為1，則λ為1。要在第2天與第5天之間完成一次轉化，利用P(T<= 5) - P(T<= 2)來計算概率，得：

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