文章來源：初中數學方法七 年 級 上 冊

第一章-有理數

1.有理數：

凡是能寫成形式的數，都是有理數。

正整數、0、負整數統稱整數；正分數、負分數統稱分數；整數和分數統稱有理數。

注意：0既不是正數，也不是負數；-a不一定是負數， a也不一定是正數。

2.數軸：

數軸是規定了原點、正方向、單位長度的一條直線.

3.相反數：

(1)隻有符号不同的兩個數，我們說其中一個是另一個的相反數；0的相反數還是0；

(2)相反數的和為0a b=0a、b互為相反數。

4.絕對值：

(1)正數的絕對值是其本身，0的絕對值是0，負數的絕對值是它的相反數；

注意：絕對值的意義是數軸上表示某數的點離開原點的距離；

(2)絕對值可表示為：或；絕對值的問題經常分類讨論；

5.有理數比大小：

(1)正數的絕對值越大，這個數越大；

(2)正數永遠比0大，負數永遠比0小；

(3)正數大于一切負數；

(4)兩個負數比大小，絕對值大的反而小；

(5)數軸上的兩個數，右邊的數總比左邊的數大；

(6)大數-小數＞0，小數-大數＜0

6.互為倒數：

乘積為1的兩個數互為倒數。

注意：0沒有倒數；若a≠0，那麼的倒數是；若ab=1a、b互為倒數；

若ab=-1a、b互為負倒數.

7.有理數加法法則：

(1)同号兩數相加，取相同的符号，并把絕對值相加；

(2)異号兩數相加，取絕對值較大的符号，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；

(3)一個數與0相加，仍得這個數.

8.有理數加法的運算律：

(1)加法的交換律：a b=b a；

(2)加法的結合律：（a b） c=a （b c）

9.有理數減法法則：

減去一個數，等于加上這個數的相反數；即a-b=a （-b）

10.有理數乘法法則：

(1)兩數相乘，同号為正，異号為負，并把絕對值相乘；

(2)任何數同零相乘都得零；

(3)幾個數相乘，有一個因式為零，積為零；各個因式都不為零，積的符号由負因式的個數決定。

11.有理數乘法的運算律：

(1)乘法的交換律：ab=ba；

(2)乘法的結合律：（ab）c=a（bc）；

(3)乘法的分配律：a（b c）=ab ac

12.有理數除法法則：

除以一個數等于乘以這個數的倒數；注意：零不能做除數

13.有理數乘方的法則：

(1)正數的任何次幂都是正數；

(2)負數的奇次幂是負數；負數的偶次幂是正數；

注意：當n為正奇數時:(-a)n=-an或(a-b)n=-(b-a)n,當n為正偶數時:(-a)n=an或(a-b)n=(b-a)n

14.乘方的定義：

(1)求相同因式積的運算，叫做乘方；

(2)乘方中，相同的因式叫做底數，相同因式的個數叫做指數，乘方的結果叫做幂；

15.科學記數法：

把一個大于10的數記成a×10n的形式，其中a是整數數位隻有一位的數，這種記數法叫科學記數法。

16.近似數的精确位：

一個近似數，四舍五入到那一位，就說這個近似數的精确到那一位。

17.有效數字：

從左邊第一個不為零的數字起，到精确的位數止，所有數字，都叫這個近似數的有效數字。

18.混合運算法則：

先乘方，後乘除，最後加減。

本章内容要求學生正确認識有理數的概念，在實際生活和學習數軸的基礎上，理解正負數、相反數、絕對值的意義所在。重點利用有理數的運算法則解決實際問題。

體驗數學發展的一個重要原因是生活實際的需要。激發學生學習數學的興趣，教師培養學生的觀察、歸納與概括的能力，使學生建立正确的數感和解決實際問題的能力。

教師在講授本章内容時，應該多創設情境，充分體現學生學習的主體性地位。

八 年 級 上 冊

第一章- 三角形

1.三角形的定義：

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。

三角形有三條邊，三個内角，三個頂點。

組成三角形的線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的内角;；相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點。

2.三角形的表示：

三角形ABC用符号表示為△ABC。

三角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示。三個頂點用大寫字母A,B,C來表示。

注意：

(1)三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；

(2)三角形是一個封閉的圖形；

(3)△ABC是三角形ABC的符号标記，單獨的△沒有意義。

3.三角形的分類：

(1)按邊分類：

(2)按角分類：

4.三角形的主要線段的定義：

②∠1=∠2=∠BAC.

注意：

①三角形的角平分線是線段；

②三角形三條角平分線全在三角形的内部且交于三角形内部一點；（注：這一點角三角形的内心。角平分線的性質：角平分線上的點到角的兩邊距離相等）

③用量角器畫三角形的角平分線。

(3)三角形的高

從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段。

表示法：

①AD是△ABC的BC上的高線

②AD⊥BC于D

③∠ADB=∠ADC=90°.

注意：

①三角形的高是線段；

②銳角三角形三條高全在三角形的内部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在形外；(三角形三條高所在直線交于一點．這點叫垂心）

③由于三角形有三條高線，所以求三角形的面積的時候就有三種（因為高底不一樣）

5.三角形的主要線段的表示法：

三角形的角平分線的表示法：

如圖1，根據具體情況使用以下任意一種方式表示：

① AD是DABC的角平分線；

② AD平分ÐBAC，交BC于D；

(圖1)

(2)三角形的中線表示法：

如圖1，根據具體情況使用以下任意一種方式表示：

①AE是DABC的中線；

②AE是DABC中BC邊上的中線；

(3)三角線的高的表示法：

如圖2，根據具體情況，使用以下任意一種方式表示：

①AM是DABC的高；

②AM是DABC中BC邊上的高；

③如果AM是DABC中BC邊上高，那麼AM^BC，垂足是E；

(圖2)

在畫三角形的三條角平分線，三條中線，三條高時應注意：

(1)如圖3，三角形三條角平分線交于一點，交點都在三角形内部.

(2)如圖4，三角形的三條中線交點一點，交點都在三角形内部.

(圖3)

(圖4)

如圖5,6,7，三角形的三條高交于一點，銳角三角形的三條高的交點在三角形内部，鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部，直角三角形的三條高的交點在直角三角形的直角頂點上.

(圖5)

(圖6)

(圖7)

6.三角形的三邊關系：

三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊。

注意：

(1)三邊關系的依據是：兩點之間線段是短；

(2)圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊．

7.三角形的角與角之間的關系：

(1)三角形三個内角的和等于180°;

(2)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個内角的和；

(3)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的内角.

(4)直角三角形的兩個銳角互餘.

8.三角形的内角和定理：

定理：三角形的内角和等于180°

推論：直角三角形的兩個銳角互餘。

推理過程：

(1)作CM∥AB，則∠4=∠1，而∠2 ∠3 ∠4=180度，

即∠A ∠B ∠ACB=180度．

(2)作MN∥BC，則∠2=∠B，∠3=∠C，而∠1 ∠2 ∠3=180度

即∠BAC ∠B ∠C=180度．

注意：

(1)證明的思路很多，基本思想是組成平角。

(2)應用内角和定理可解決已知二個角求第三個角或已知三角關系求三個角。

9.三角形的外角的定義：

三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

注意：每個頂點處都有兩個外角，但這兩個外角是對頂角。（所以一般我們隻研究一個）

如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE

所以說一個三角形有六個外角，但我們每個一個頂點處隻選一個外角，這樣三角形的外角就隻有三個了。

10.三角形外角的性質：

(1)三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個内角之和。

(2)三角形的一個角大于與它不相鄰的任何一個内角。

注意：

(1)它不相鄰的内角不容忽視；

(1)作CM∥AB由于B、C、D共線

∴∠A=∠1，∠B=∠2.

即∠ACD=∠1 ∠2=∠A ∠B

那麼∠ACD>∠A.∠ACD>∠B

11.三角形的穩定性：

三角形的三邊長确定，則三角形的形狀就唯一确定，這叫做三角形的穩定性。

注意：

(1)三角形具有穩定性；

(2)四邊形沒有穩定性.

12.關于三角形會經常遇到的題型：

适當添加輔助線，尋找基本圖形。

(1)基本圖形一，如圖8，在ABC中，AB=AC，B,A,D成一條直線，

(圖8)

(2)基本圖形二，如圖9，如果CO是∠AOB的角平分線，DE∥OB交OA,OC于D,E，那麼DOE是等腰三角形，DO=DE.當幾何問題的條件和結論中，或在推理過程中出現有角平分線，平行線，等腰三角形三個條件中的兩個時，就應找出這個基本圖形，并立即推證出第三個作為結論.即：角平分線 平行線→等腰三角形。

(圖9)

(3)基本圖形三，如圖10，如果BD是ÐABC的角平分線，M是AB上一點，MN^BD，且與BP,BC相交于P,N.那麼BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分線 垂線→等腰三角形。

(圖10)

當幾何證題中出現角平分線和向角平分線所作垂線時，就應找出這個基本圖形，如等腰三角形不完整就應将基本圖形補完整，如圖11，圖12。

(圖11)

(圖12)

13.多邊形：

在同一平面内，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形。

(1)多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

(2)正多邊形：各邊相等，各角都相等的多邊形叫做正多邊形。

(3)多邊形的内角和為（n-2）*180度

多邊形的外角和為 360度

注：當求角度時應該想起：内角和、外角和、一個角的外角。

14.密鋪：

所謂“密鋪”，就是指任何一種圖形，如果能既無空隙又不重疊的鋪在平面上，這種鋪法就叫做“密鋪”。

用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的密鋪，又稱做平面圖形的鑲嵌。

15.可單獨密鋪的圖形：

①所有三角形與四邊形均可以單獨密鋪。

②正多邊形隻有正三角形、正四邊形、正六邊形可以單獨密鋪。

③對邊平行的六邊形可以單獨密鋪。

平面上有：完全相同的三角形、四邊形能密鋪（或三角形與四邊形組合）、正多邊形密鋪時,隻有正三、四、六邊形可以密鋪。

(利用内角和的知識來計算，如：任意三角形内角180，則三個相同的任意三角形即可形成∠180，六個就可以密鋪；同理，四邊形内角360，四個就可以密鋪；正多邊形的頂角的整數倍等于180或360)

曲面像12個正五邊形和20個正六邊形可以鋪成個球(足球就是)。

九 年 級 上 冊

第一章-一元二次方程

【知識網絡】

1.一元二次方程的定義：

2.一元二次方程的解法：

注意事項：

解一元二次方程常見的思維誤區是忽略幾個關鍵：

用因式分解法解方程的關鍵是先使方程的右邊為0；

用公式法解方程的關鍵是先把一元二次方程化為一般形式，正确寫出a、b、c的值；

用直接開平方法解方程的關鍵是先把方程化為(mx-n) 2=h的形式；

用配方法解方程的關鍵是先把二次項系數化為1，再把方程的兩邊都加上一次項系數一半的平方。

解具體的一元二次方程時，要分析方程的特征，靈活選擇方法。

公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基礎（公式法是直接利用了配方法的結論）。

分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程。

掌握各種方法的基本思想是正确解方程的根本，一般說來，先特殊後一般，即先考慮分解因式法，後考慮公式法。沒有特别說明，一般不用配方法。

3.一元二次方程的實際應用：

方程是解決實際問題的有效模型和工具，解方程的技能訓練要與實際問題相聯系，在解決問題的過程中體會解方程的技巧，理解方程的解的含義。

利用方程解決實際問題的關鍵是找出問題中的等量關系，找出題目中的已知量與未知量，分析已知量與未知量的關系，再通過等量關系，列出方程，求解方程，并能根據方程的解和具體問題的實際意義，檢驗解的合理性。

4.列一元二次方程解應用題的一般步驟：

可歸納為審、設、列、解、驗、答。

審：讀懂題目，弄清題意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的等量關系；

設：設元，也就是設未知數；

列：列方程，這是非常重要的關鍵步驟，一般先找出能夠表達應用題全部含義的一個相等關系，然後列代數式表示相等關系中的各個量，就得到含有未知數的等式，即方程；

解：解方程，求出未知數的值；

驗：檢驗方程的解能否保證實際問題有意義；

答：寫出答語。

5.相等關系的尋找：

應從以下幾方面入手：

①分清本題屬于哪一類型的應用題，如行程問題，則其基本數量關系應明确（vt=s）。

②注意總結各類應用題中常用的等量關系，如工作量（工程）問題。常常是以工作量為基礎得到相等關系（如各部分工作量之和等于整體1等）。

③注意語言與代數式之間的轉化。題目中多數條件是通過語言給出的，我們要善于将這些語言轉化為我們列方程所需要的代數式。

④從語言叙述中尋找相等關系，如甲比乙大5應理解為 “甲=乙＋5”等。

⑤在尋找相等關系時，還應從基本的生活常識中得出相等關系。

總之，找出相等關系的關鍵是審題，審題是列方程的基礎，找相等關系是列方程解應用題的關鍵。

【易錯點】

1.忽視一元二次方程定義中的條件：

2.用公式法解方程，忽視化方程為一般形式：

3.忽視等式性質中的條件：

4.概念模糊緻錯：

5.忽視方程有根的具體含義：

​數學大師：shuxueds

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