相對相稱-對稱分析法

【閱讀與思考】

對稱分析法就是在解題時，充分利用自身條件的某些對稱性輔助解題的一種分析方法，初中階段主要研究下面兩種類型的對稱:

1.代數中的對稱式

如果把一一個多項式的任意兩個字母互換後，所得的多項式不變就稱這個多項式為對稱式，對稱式的本質反應的是多元多項式中字母地位相同，任何一個複雜的二元對稱式，都可以用最簡單對稱多項式a b，ab表示，一些對稱式的代數問題，常用最簡對稱式表示将問題解決.

2.幾何圖形的對稱

幾何圖形的對稱指的是軸對稱和中心對稱，一些幾何問題，如果我們作出圖形的對稱軸，或者作出已知點關于某線(某點)的對稱點，構造出軸對稱圖形、中心對稱圖形，那麼就能将分散的條件集中起來，容易找到解題途徑.

【例題與求解】

【解析】

要求PM PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化PN、PM的值，從而找出其最小值求解.

【點評】

考查菱形的性質和軸對稱及平行四邊形的判定等知識的綜合應用.綜合運用這些知識是解決本題的關鍵.

【解析】

将b=2-a代入W=√(a² 4) √(b² 1)，得到W的關于a的表達式，再利用勾股定理，将表達式轉化為直角三角形兩斜邊AP、BP的和，利用勾股定理求和即可.

【點評】

此題考查了軸對稱--最短路徑問題，将表達式轉化為勾股定理，體現了數形結合在解題中的作用.

方法一：

方法二：

【點評】

本題考查的是最短路線問題及相似三角形的判定與性質，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵.

【能力訓練】

【解析】根據軸對稱圖形的概念可得∠AFC=∠EFC，∠BCF=∠DCF，再根據題目條件∠AFC ∠BCF=150°可得到∠AFE ∠BCD的度數.

【點評】此題主要考查了軸對稱的性質，關鍵是掌握軸對稱圖形的對稱軸兩邊的圖形能完全重合.

【解析】根據折疊的性質及等邊對等角的性質，可得到∠BAE=∠EAC=∠ECA，根據三角形内角和定理即可求得∠ECA的度數，再根據直角三角形的性質不難求得AC的長.

【點評】本題考查等腰三角形的性質及直角三角形性質和翻折變換等知識；對于翻折變換問題，找準對應的相等關系是正确解答的關鍵.

【解析】根據軸對稱圖形的性質，作出P關于OA、OB的對稱點M、N，連接AB，根據兩點之間線段最短得到最小值線段，再構造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可.

【點評】此題考查了軸對稱最短路徑問題，根據題意構造出對稱點，轉化為直角三角形的問題是解題的關鍵.

【解析】要求PE PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉化PE，PC的值，從而找出其最小值求解.

【點評】考查正方形的性質和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用.

【解析】根據軸對稱圖形的概念求解，如果一個圖形沿着一條直線對折後兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

【點評】掌握好軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊後可重合.

【解析】先M關于BC的對稱點M'與A的連線AM'與BC交點時PA PM取最小值t，當P與C重合時為最大值s，再根據特殊角的三角函數值及勾股定理分别求出s、t的值即可.

【點評】本題考查的是最短路線問題，根據題意分别作出各點的對稱點，即輔助線是解答此題的關鍵.

【解析】根據三角形的内角和等于180°求出(a b)的度數，然後根據平角的度數等于180°列式求出(d e)的度數，再根據四邊形的内角和等于360°列式求出f的度數，再利用平角的定義即可求出x的值.

【點評】本題考查了三角形的内角和定理，以及物理學中反射角等于入射角的知識，求出d、e的和是解題的關鍵，也是難點.

【點評】 本題為方案設計題，綜合考查了學生的作圖能力，運用數學知識解決實際問題的能力，以及觀察探究和分類讨論的數學思想方法.

【點評】本題考查當三角形的周長最短時，未知數的值的求法，考查當四邊形ABDC的周長最短時，未知數的值的求法，考查使四邊形ABMN周長最短時，未知數的值的是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對稱知識的合理運用.

【解析】(1)根據折疊的性質知∠BAD=∠EAB，∠DAC=∠CAF，即∠EAF=2∠BAC=90°；而∠E=∠ADB=∠F=∠ADC=90°，由此可證得四邊形AEMF是矩形；而AE=AF=AD，所以四邊形AEMF是正方形；

(2)欲求正方形的面積，需求出正方形的邊長，可設正方形的邊長為x；由折疊的性質知BE=BD，CD=CF，即可用x表示出BM、MC的長，進而可在Rt△BMC中，由勾股定理求得正方形的邊長，即可得到正方形的面積.

【點評】此題考查了圖形的折疊變換、正方形的判定、勾股定理以及圖形面積的求法，能夠根據折疊的性質正确地得到與已知和所求相關的相等角和相等邊，是解答此題的關鍵.

【點評】解決此題的關鍵在與掌握P點的運動規律，能夠理解每兩個相鄰P點與矩形頂點所構成的三角形是等腰直角三角形，是解答此題的關鍵.

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!