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什麼樣的矩陣可以相似對角化

生活更新时间:2024-11-14 01:12:27

對于一個實對稱矩陣不僅可以通過一個可逆矩陣相似對角化，還可以通過一個正交矩陣來相似對角化。實對稱矩陣的不同特征值所對應的特征向量正交，而且實對稱矩陣的特征值全為實數。在考研中，我們一定要重點掌握會求一個正交矩陣來相似對角化，這裡的正交矩陣是矩陣的彼此正交且為單位向量的特征向量組成的，這裡的對角矩陣是矩陣的特征值組成的。

實對稱矩陣：元素都是實數的對稱矩陣稱為實對稱矩陣。

實對稱稱矩陣的特征值、特征向量及相似對角化：

（1）實對稱矩陣的特征值全部是實數；

（2）實對稱矩陣的屬于不同特征值對應的特征向量相互正交化；

（3）實對稱矩陣必相似于對角矩陣。

求實對稱矩陣矩陣正交相似于對角矩陣的步驟：

什麼樣的矩陣可以相似對角化（線性代數之實對稱矩陣得相似對角化問題的方法總結）1

求實對稱矩陣正交相似于對角矩陣的步驟

題型一：實對稱矩陣的正交相似對角矩陣

例1：

什麼樣的矩陣可以相似對角化（線性代數之實對稱矩陣得相似對角化問題的方法總結）2

解題思路：（1）非齊次線性方程組有無窮多個解的充要條件為矩陣A的秩等于增廣矩陣的秩且小于3.

（2）利用求實對稱矩陣相似對角矩陣的方法求解

解：

什麼樣的矩陣可以相似對角化（線性代數之實對稱矩陣得相似對角化問題的方法總結）3

題型二：相似對角矩陣的應用

例2：設A是n階矩陣，有特征值1，2，3，....，n，求|3E A|

分析：可以利用特征值和行列式的性質的計算。

解：

什麼樣的矩陣可以相似對角化（線性代數之實對稱矩陣得相似對角化問題的方法總結）4

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