若系統内有幾個物體，這幾個物體的質量分别為m₁，m₂，m₃...mₙ，加速度分别a₁，a₂，a₃...aₙ，這個系統受到合外力為F合，則這個系統應用牛頓第二定律的表示式為：

系統牛頓第二定律

其正交表示式為：

系統牛頓第二定律正交分解式

‍與采用隔離法分别對每一物體應用牛頓第二定律求解不同的是，應用系統的牛頓第二定律解題時将使得系統内物體間的相互作用力變成内力，因而可以減少不必求解的物理量的個數，導緻所列方程數減少，從而達到簡化求解的目的。

例：如下圖所示，靜止于粗糙的水平面上的斜劈A的斜面上，一物體B沿斜面向上做勻減速運動，加速度大小為a，那麼，斜劈受到的水平面的支持力和靜摩擦力的大小與方向怎樣？

方法一:（隔離法）

隔離法就是每個物體單獨分析，利用牛頓第三定律求解，這裡不再叙述。

方法二：（整體法）

解析：把A和B看作一個系統，在豎直方向受到向下的重力和豎直向上的支持力，在水平方向受到的摩擦力的方向未定。劈A的加速度，物體B的加速度沿斜面向下，将加速度a分解成水平分量和豎直分量，如圖所示，

對A、B整體的水平方向運用牛頓第二定律有，

水平方向：

f=maₘₓ Maᴍₓ=maₘₓ 0

f=macosθ(方向水平向左)

豎直方向：

(M m)g-Fɴ=maₘᵧ Maᴍᵧ

Fɴ=(M m)g-maₘᵧ-Maᴍᵧ

Fɴ=(M m)g-maₘᵧ-0

Fɴ=(M m)g-masinθ

斜面體B有向右運動的趨勢。

【練習】如圖所示，

斜面體質量為M，傾角為θ，置于水平地面上，當質量為m的小木塊沿斜面體的光滑斜面自由下滑時，斜面體仍靜止不動，則（ ）

A.斜面體受地面的支持力為Mg

B.斜面體受地面的支持力為（m＋M）g

C.斜面體受地面的摩擦力為 mgcosθ

D.斜面體受地面的摩擦力為 ½mgsin2θ

【練習】一個箱子放在水平地面上，箱内有一固定的豎直杆，在杆上套着一個環，箱與杆的質量為M，環的質量為m，如圖所示.

已知重力加速度為g，環沿杆以加速度a勻加速下滑，則此時箱子對地面的壓力大小為（A）

A. Mg ＋mg-ma

B. Mg-mg ＋ma

C. Mg ＋mg

D. Mg-mg

【練習】如圖所示，

質量為M的物體内有光滑圓形軌道，現有一質量為m的小滑塊沿該圓形軌道在豎直面内作圓周運動.A、C點為圓周的最高點和最低點，B、D點是與圓心O同一水平線上的點.小滑塊運動時，物體M在地面上靜止不動，重力加速度為g，則物體M對地面的壓力Fɴ和地面對M的摩擦力有關說法正确的是（B）

A.小滑塊在A點時，Fɴ＞Mg，摩擦力方向向左

B.小滑塊在B點時，Fɴ＝Mg，摩擦力方向向右

C.小滑塊在C點時，Fɴ＝（M＋m）g，M與地面無摩擦

D.小滑塊在D點時，Fɴ＝（M＋m）g，摩擦力方向向左

【練習】如圖，

在傾角為a的固定光滑斜面上，有一用繩子拴着的長木闆，木闆上站着一隻貓。已知木闆的質量是貓的質量的2倍。當繩子突然斷開時，貓立即沿着闆向上跑，以保持其相對斜面的位置不變。則此時木闆沿斜面下滑的加速度為（C）。

A.（gsinα）/2

B.gsinα

C.（3gsin α）/2

D: 2gsinα

【練習】如圖，

質量為m的木塊在質量為M的木闆上滑行，木闆與地面間動摩擦因數為μ₁，木塊與木闆間的動摩擦因數為μ₂，木闆一直靜止，那麼木闆受地面的摩擦力大為μ₂mg。

例：如圖所示，

三角形物塊質量為3m，α＝30°，β＝60°，置于粗糙水平面上，兩斜面光滑，其頂部安有一輕小滑輪.小物體A、B質量分别為m和2m，用細線繞過滑輪相連接并用手按住.求放手後A、B均在斜面上運動時，地面對三角形物塊的支持力和摩擦力（三角形物塊始終靜止）A、B的加速度分别為aᴀ、aʙ，aᴀ＝aʙ＝a

對于A、B系統，依牛頓第二定律有:

2mgsin60°- mgsin30°＝3ma.

∴a＝（2√3-1）g/6

把A、B的加速度分别沿水平方向和豎直方向分解.

aᴀₓ＝acos30°＝√3a/2，水平向右；

aʙₓ＝acos60°＝a/2，水平向右；

aᴀᵧ＝asin30°＝a/2，豎直向上；

aʙᵧ＝acos30°＝√3a/2，豎直向下

設地面對三角形物塊的摩擦力為f，支持力為FN，對A、B及三角形物塊組成的系統.依牛頓第二定律，并以水平向右和豎直向上為正方向，有:

f＝maᴀₓ＋2maʙₓ＋3m×0，

Fɴ-6mg-maᴀᵧ -2maʙᵧ ＋3m×0，

解得f＝0.77mg，方向水平向右

Fɴ＝5.5mg，方向豎直向上.

例：如圖所示，

一質量為M的楔形木塊放在水平桌面上，它的頂角為90°，兩底角為α和β；a、b為兩個位于斜面上質量均為m的小木塊，已知兩斜面都是光滑的。現a、b沿斜面下滑，而楔形木塊靜止不動，這時楔形木塊對水平桌面的壓力等于（ ）

A. Mg＋mg

B. Mg＋2mg

C.Mg＋mg （sinα＋sinβ）

D.Mg＋mg （cosα＋cosβ）

【解析】隔離法：由于斜面光滑，兩個木塊均勻加速下滑，分别對兩個物體進行受力分析，求出其對斜面體的壓力，再對斜面體受力分析，求出地面對斜面體的支持力，然後根據牛頓第三定律得到斜面體對地面的壓力。

對木塊a進行受力分析，如圖，

受重力和支持力作用，由幾何關系，得到

N₁＝mgcosα

故物體a對斜面體的壓力為

N₁′＝mgcosα

同理，物體b對斜面體的壓力為

N₂′＝mgcosβ

對斜面體受力分析，如圖，

根據共點力平衡條件，得到: N₂′cosα-N₁cosβ＝0

F支-Mg-N₁′sinβ-N₂′sinα＝0

根據題意有:

α＋β＝90°

聯立式解得

F支＝Mg＋mg

根據牛頓第三定律，斜面體對地的壓力等于Mg＋mg

【拓展】

①求地面對斜面體的摩擦力

②應用整體法求解

【練習】如圖所示，

在水平面上有一個質量為M的楔形木塊A，其斜面傾角為α，一質量為m的木塊B放在A的斜面上，現對A施以水平推力F，恰使B與A不發生相對滑動.忽略一切摩擦，則B對A的壓力大小為（ BD）

A. mgcosα

B.mg/cosα

C.MF/（M＋m）cosα

D.mF/（M＋m）sinα

例：如圖所示，

該裝置叫做阿特伍德機，是阿特伍德創制的一種著名力學實驗裝置，用來研究勻變速直線運動的規律．繩子兩端的物體豎直運動的加速度大小總是小于自由落體的加速度g，同自由落體相比，下落相同的高度，所花費的時間要長，這使得實驗者有較長的時間從容的觀測、研究．已知物體A、B的質量相等均為M，輕繩與輕滑輪間的摩擦不計，輕繩不可伸長且足夠長，求：

（1）若物體C的質量為¼M，物體B從靜止開始下落一段距離的時間與自由落體下落同樣的距離所用時間的比值．

（2）如果連接AB的輕繩能承受的最大拉力為1.2Mg，那麼對物體C的質量有何要求？

【練習】

水平面上靜止放置一質量為M的木箱，箱頂部和底部用細線分别拴住質量均為m的小球，兩球間有一根處于拉伸狀态的輕彈簧，使兩根細線均處于拉緊狀态，如圖所示。

現在突然剪斷下端的細線，則從剪斷細線開始到彈簧恢複原長以前，箱對地面的壓力變化情況，下列判斷正确的是（B）

A.剛剪斷細線瞬間，壓力突然變大，以後箱對地面壓力逐漸增大

B.剛剪斷細線瞬間，壓力突然變大，以後箱對地面壓力逐漸減小

C.剛剪斷細線瞬間，壓力突然變小，以後箱對地面壓力逐漸減小

D.剛剪斷細線瞬間，壓力突然變小，以後箱對地面壓力逐漸增大

【練習】光滑絕緣的水平面上，放着三個質量都是m的帶電小球A，B，C，如圖所示，

小球之間距離都是L.已知A，B兩球帶等量電荷＋q，現給C球一個外力F，使三個小球在運動中保持距離不變，則：

（1）C球帶何種電荷？電荷量多少？

（2）外力F的大小和方向如何？

應用情景

綜上所述，用系統的牛頓第二定律處理連接體、尤其是加速度不同的連接體的動力學問題，對提高學生的解題速度、解題能力、思維品質，往往能收到事半功倍的效果。

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