作者：李臣 王芳

每年的畢業季，作為數學教師的我們都要給學生們講解《重難題型精講——幾何圖形的折疊與動點問題》，教師很多時候依賴所選的資料書，受限于資料書，很難形成自己對該問題的深刻認知與辨識，學生也很難做到舉一反三的理解該問題，使得學生在中招考試中直接放棄該問題的解答，這造成了教師的講解精力投放在這個方面過多，卻不能很好的讓學生學會該問題的解決方法。

基于以上的發現與思考，我給折疊與動點問題歸納為兩大類——單動點與雙動點類，所謂的單動點類問題是題意中翻折過程中對稱軸的兩個端點一個為定點一個為動點；雙動點類問題就是翻折過程中的對稱軸的兩個端點均為動點。詳細分類方式如下表

在查閱近十年的河南中招考試真題發現該問題考察的比較多，統計如下表：

唯獨在2011年與2019年沒有在第15題考察該類問題，而是在其他題型上加強了該類問題的考察，可以說是十年九考。

為了使中招複習講評課更加具有針對性與效率，我們研究了快速解決該問題的順口溜方法，下面我們就以習題講解的方式加以闡述。

（2021年河南中考）15.小華用一張直角三角形紙片玩折紙遊戲，如圖1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1。第一步：在AB邊上找一點D，講紙片沿CD折疊，點A落在A’處。如圖2：将紙片沿CA’折疊，點D落在D’處。如圖3：當點D’恰好落在直角三角形紙片的邊上時，線段A’D’的長為 。

【單動點】解題技巧：一定一動一線長，畫個圓圈來幫忙！

①如解析圖1所示，依據題意看找定點與動點；知題幹“點A落在A’處”與“點D落在D’處”知道動點為點A與點D，在三角形ADC沿DC折疊成三角形A’DC，則發現C點的位置未發生改變，所以點C為定點。

明确：動點為點A與點D，但動點A對該題的解題前期無意義，所以放棄動點A，重點考慮動點D。定點為點C。

②連接點C與點D，以定點C為圓心，線段CD長為半徑畫圓（這個圓周可以看成動點D的運動軌迹），圓與題意要求的邊AB或邊BC有交點，則交點即為D’的所在。如解析圖2所示；

③依據點D’的位置可以重新構圖，如解析圖2與3所示。

【解】①如解析圖2所示；當點D落在D’處時，可知D’在線段AB上

（2019年新鄉模拟第15題）如圖，在Rt���ABC中，∠C=90°，點D、E分别是BC、AB上的一個動點，連接DE。将點B沿直線DE折疊，點B的對應點為F，若AC=3，BC=4，當點F落在AC的三等分點上時，BD的長為 。

【雙動點】解題技巧一：對稱兩點連線找中點，過中點坐所連線段的垂直平分線，垂線與原三角形的對應邊的交點即為雙動點位置。

①依題意中的“點D、E分别是BC、AB上的一個動點”，知該題是雙動點問題。而為了确定雙動點的位置，依據做題技巧如下：

②依據做題技巧找對應點或是對稱點；依據題意中“點B的對應點為F且當點F落在AC的三等分點上時”，可知對稱點為點B與點F,并找出對應邊AC的三等分點FI、F2。如解析圖1所示。

連接對稱點B與FI，并找出線段BF的中點M1，過中點M1作線段BF的垂線，該垂線與原直角三角形的對應邊AB、AC的交點即為動點E1點與D1點。如解析圖2所示；

連接對稱點B與F2，并找出線段BF的中點M2，過中點M2作線段BF的垂線，該垂線與原直角三角形的對應邊AB、AC的交點即為動點E2點與D2點。如解析圖3所示；

【解】①如解析圖2所示；當△BE1D1沿線段E1D1折疊使得點B落在線段AC的三等分點F1處時，可知△BE1D1≌△F1E1D1，設BD1=X且AC=3,BC=4

∴BD1=D1F1=X，F1C:AC=2:3,則F1C=2，D1C=BC-BD1=4-X

在Rt△F1CD1中可知D1C2 F1C2=F1D12

∴（4-X）2 22=X2，解得：X=2/5

②如解析圖3所示；當當△BE2D2沿線段E2D2折疊使得點B落在線段AC的三等分點F2處時，可知△BE2D2≌△F2E2D2，設BD2=X且AC=3,BC=4

∴BD2=D2F2=X，F2C:AC=1:3,則F1C=2，D2C=BC-BD2=4-X

在Rt△F1CD1中可知D2C2 F2C2=F2D22

∴（4-X）2 12=X2，解得：X=17/8

∴BE的長為17/8或2/5.

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