本次内容不涉及過多超綱的内容，隻是對極點極線在解析幾何中的基礎性應用作簡要介紹，極點極線和泰勒公式一樣均屬于高等數學中的知識，了解這些并不是為了做到對解析幾何題目的秒殺，很多時候也根本做不到秒殺，極點極線與圓錐曲線中的切線，切點弦方程，圓系方程以及二次曲線系等都有交集，多了解一些會對整個解析幾何的宏觀把握有一定的幫助，極點極線的來源以及證明不是本次内容的關鍵，很多東西直接拿來用就行了。

一、極點極線的定義和由來

極點極線的知識從二次曲線的切線講起，點和二次曲線的位置關系也有三種，即在曲線外，上，内，若在曲線上，高中階段要求會求在圓/橢圓/抛物線上某點處的切線方程；若在曲線外，高中解析幾何入門直線與圓時就已經學圓的切點弦方程的求法，與此類似的可推廣到橢圓以及抛物線中，會求切線和切點弦是解析幾何中必備的能力，學有餘力者可多了解一些與切線相關的擴展知識，例如蒙日圓等等，相關的鍊接可參考：

圓的切點弦方程的求法

圓錐曲線中的雙切線問題整理

思維訓練37.抛物線中的切線問題

蒙日圓與圓錐曲線結合的小應用

極點極線的定義和表示方法，先以橢圓為例，從我們比較熟悉的橢圓上某點處的切線方程的求法來理解極點極線的知識，分别考慮點在橢圓上，外，内時的情況。

切點弦方程為什麼和切線方程相同，在上面圓的切線方程中給出了類似證明，用的方程思想，下面給出簡要證明：

以上都比較容易理解，能看出無論P點在橢圓上還是橢圓外，都會得到一條相同的直線方程，隻是點在橢圓上時這條直線表示該點處的切線，在橢圓外時得到的是切點弦，若點P在橢圓内，此時這個方程代表什麼，是過P點的割線嗎？

因此，若點在橢圓内，這條直線方程的幾何意義為所有過P點的割線與橢圓的交點處切線交點的軌迹。

以上，點P和對應的直線方程就是一組對應的極點和極線，若将點P的位置特殊化，當點P位于x軸時，此時對應的極線是一條與x軸垂直的直線，當點P位于y軸時，極線為一條與y軸垂直的直線，在橢圓中，若點P恰好為焦點時，此時的極線為對應的準線方程。

在橢圓中極點和極限是一一對應的，要學會給出極點求極線，給出極線能快速找出極點，在雙曲線和抛物線中均可利用切點切線的方法找到對應的極線方程表達式，若推廣到一般形式，極點與之對應的極線方程如下：

二、極點極線的作圖方法

以本題為例，A,B是關于原點對稱的兩個定點，C,D為動點，BD,AC交于點M,連接BC,AD交于點N，延長DC,BA交于點P，則直線NP為極點M所對應的極線,因此在曲線外上的點的極線很容易找，同理P點對應的極線也可用相同的方法找到，如下圖：

從上圖可知M點的極線經過點N，P點的極線也經過點N，根據配極原則，則N點的極線既經過點M，又經過點P，則PM為N點對應的極線，圖示如下：

無論點在曲線外還是内，均可以通過兩條弦長圍成的四邊形找到對應的極線，因此若将三個圖像綜合在一起，此時會得到一個自極三角形，對應的極點和極線很容易确定出來，如下：

延長四邊形交于M,P點，則四邊形兩條邊的交點N,M,P圍成一個三角形，此時M點的極線為對邊NP所在直線，N點極線為對邊MP所在直線，P點極線為MN所在直線，此時△MNP叫做自極三角形。

三、極點極線的性質

高中解析幾何無非是點，線，曲線的組合，點和線相對于曲線來說都有三個位置關系，線與曲線會形成交點和割線，線與線之間也會出現交點，有時候在判斷基于曲線的點與線的位置關系時可通過極點與極線快速做出判斷，常見的題型為三點共線問題，動直線過定點問題和動點在定直線上，在涉及線段長度時也可能會用到極點極線的相關結論。

1.極點和極線一一對應且唯一，共線點的極線必定共點，這裡可以用來确定出三點共線問題，圖示為：

圖示中四條極線交于點P，則四條極線對應的極點共線與P點對應的極線上。

高中階段證明四點共線可通過斜率或向量的形式證明，難度不大，在此不給出對應的題目。

2.極點極線中的一些線段比例問題

這些線段的比例關系來自于調和點陣的性質，關于什麼是調和點陣不是高中階段需要研究的内容，了解即可，這些性質拿來用就行。

這個結論記的時候可以将字母标成數字，若P,A,Q,B成調和點陣，對應的數字為1,2,3,4，則下面的分母為12,14,13,若B,Q,A,P成調和點陣，對應的數字也為1,2,3,4，下面的分母根據對稱也為12,14,13，如果能分清内外分點就不用這樣記了。

四、極點極線在高中解析幾何中的應用

1.在曲線的兩條切割線中證明動直線過定點，題目以2019年全國1理科數學圓錐曲線題為例，這個題目可使用常規方法，也可使用二次曲線系解題，無論哪種均需通過複雜的運算，若使用極點極線，可輕易判斷出動直線過的頂點，當然，解題步驟中不可以使用極點極線的方法，關于二次曲線系的使用可參考鍊接：

二次曲線系解題示範

對二次曲線系方程用法的一點點補充

2.證明動直線過定點

此類問題常以向量的分點比例或者線段的長度比值出現，确定出動點在定點的極線上即可。

3.基于動點的定值問題，此類問題可以看做動點在定直線上的延伸

本題目P點縱坐标為零，因此隻需求出Q點的橫坐标即可，可知Q點在P點的極線上，P點在x軸上，因此Q點在與x軸平行的直線上，即可求出Q點的橫坐标。

總結：極點極線的問題若隻是以高中的角度來看并不是太複雜，在高中解析幾何中即可用來求切線，切點弦方程，當題目中出現割線的交點時，還可用來确定割線交點的位置，在處理一些動直線過定點和動點在定直線上時很容易将答案直接看出來，但極點極線的應用一般适用于特定題型，高中階段并不具備普适性，此處隻是将極點極線的性質直接拿來使用，更多的性質以及性質的證明在大學高等幾何中會學到，此處無需深究。

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