專題導入

導例：抛物線y=交x軸正半軸于點A（3，0），交y軸于點B（0，3），且這個抛物線的頂點為C．連接AB、AC、BC，則抛物線的對稱軸為直線 ，線段CD的長為 ，△ABC的面積為 ．

導例答案：x= 2 3．

方法點睛

如圖，過△ABC的三個頂點分别作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a)，中間的這條直線在△ABC内部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高(h)”，我們可得出一種計算三角形面積的另一種方法：S△ABC＝ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．

根據上述方法，我們來得到求三角形的面積的最值問題的方法：S△PAB＝·PQ·，根據二次函數解析式設出點P的坐标，結合一次函數解析式從而得到點Q的坐标，從而轉化為S與點P橫坐标之間的二次函數解析式，再根據二次函數增減性求最值.一般情況下，當鉛垂線段PQ最大時，S△PAB取得最大值．

典例精講

類型一：抛物線上動點産生的三角形面積的最值

例1 在平面直角坐标系中，直線y=x﹣2與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數y=x2 bx c的圖象經過B，C兩點，且與x軸的負半軸交于點A，動點D在直線BC下方的二次函數圖象上．

（1）求二次函數的解析式；

（2）如圖，連接DC，D

B，設△BCD的面積為S，求S的最大值.

【分析】（1）根據題意得到B、C兩點的坐标，

設抛物線的解析式為y=（x-4）（x-m），将點C的坐标代入求得m的值即可；（2）過點D作DF⊥x軸，交BC與點F，設D（x，x2-x-2），則DF=-x2 2x，然後列出S與x的關系式，最後利用配方法求得其最大值即可．

類型二：抛物線上動點産生的四邊形的面積

例2. 如圖，抛物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于點A(1，0)和點B，與y軸交于點C，且其對稱軸l為直線x＝－1，點P是抛物線上B，C之間的一個動點(點P不與點B，C重合)．

(1)直接寫出抛物線的解析式；

(2)探究:當動點N在對稱軸l上時，是否存在PB⊥NB，且PB＝NB的關系，若存在，請求出此時點P的坐标，若不不存，請說明理由；

(3)是否存在點P使得四邊形PBAC的面積最大？若存在，請求出四邊形PBAC面積的最大值，若不存在，請說明理由．

【分析】（1）由對稱軸可求得B點坐标，結合A、B兩點坐标，利用待定系數法可求得抛物線解析式；（2）過點P作PM⊥x軸于點M，設抛物線對稱軸l交x軸于點Q．可證明△BPM≌△NBQ，則可求得PM=BQ，可求得P點的縱坐标，利用抛物線解析式可求得P點坐标；（3）連接AC，設出P點坐标，則可表示出四邊形PBAC的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值．

專題過關

1．如圖，抛物線y=ax2 bx c與坐标軸交點分别為A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），作直線BC．

（1）求抛物線的解析式；

（2）點P為抛物線上第一象限内一動點，過點P作PD⊥x軸于點D，設點P的橫坐标為t（0＜t＜3），求△ABP的面積S與t的函數關系式．

2.如圖①，在平面直角坐标系中，已知抛物線y＝ax2＋bx－5與x軸交于A(－1，0)，B(5，0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求抛物線的函數解析式；

(2)若點D是y軸上的一點，且以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似，求點D的坐标；

(3)如圖②，CE∥x軸與抛物線相交于點E，點H是直線CE下方抛物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC，CE分别相交于點F，G，試探究當點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐标及最大面積．

3．如圖，已知二次函數y=ax2 bx 3的圖象交x軸于點A（1，0），B（3，0），交y軸于點C．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）點P是直線BC下方抛物線上的一動點，求△BCP面積的最大值；

（3）直線x=m分别交直線BC和抛物線于點M，N，當△BMN是等腰三角形時，直接寫出m的值．

備用圖

4.如圖，在平面直角坐标系中，A，B為x軸上兩點，C，D為y軸上的兩點，經過點A，C，B的抛物線的一部分C1與經過點A，D，B的抛物線的一部分C2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線成為“蛋線”．已知點C的坐标為（0，﹣），點M是抛物線C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的頂點．

（1）求A,B兩點的坐标；

（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）當△BDM為直角三角形時，求m的值．

5．已知直線y=x 2分别交x軸、y軸于A，B兩點，抛物線y=x2 mx﹣2經過點A，和x軸的另一個交點為C．

（1）求抛物線的解析式；

（2）如圖1，點D是抛物線上的動點，且在第三象限，求△ABD面積的最大值；

（3）如圖2，經過點M（﹣4

，1）的直線交抛物線于點P，Q，連接CP，CQ分别交y軸于點E，F，求OE•OF的值．

專題一：二次函數中的三角形面積最值問題 答案

例1 （1）把x=0代y=x﹣2得y=﹣2，∴C（0，﹣2）．

把y=0代y=x﹣2得x=4，∴B（4，0）．

設抛物線的解析式為y=（x﹣4）（x﹣m），将C（0，﹣2）代入，得2m=﹣2．

解得m=﹣1．∴A（﹣1，0）．

∴抛物線的解析式y=（x﹣4）（x 1），即y=x2﹣x﹣2．

（2）如圖所示：過點D作DF⊥x軸，交BC與點F．

設D（x，x2-x-2），則F（x，x-2），DF=（x-2）-（x2-x-2）=-x2 2x．∴S△BCD=OB•DF=×4×（-x2 2x）=-x2 4x=-（x2-4x 4-4）=-（x-2）2 4．∴當x=2時，S有最大值，最大值為4．此時點Q為線段AB的中點.

例2.(1)y＝x2＋2x－3；∵A(1，0)，對稱軸L為直線x＝－1，

∴B(－3，0)，将AB兩點坐标代入得，

∴，解得∴抛物線的解析式為y＝x2＋2x－3.

(2)如解圖①，過點P作PM⊥x軸于點M，連接BP，過點B作BN⊥PB交直線L于點N，

設抛物線的對稱軸與x軸交于點Q，

第6題解圖①∵PB⊥NB，∴∠PBN＝90°，∴∠PBM＋∠NBQ＝90°.

∵∠PMB＝90°，∴∠PBM＋∠BPM＝90°.∴∠BPM＝∠NBQ.又∵PB＝NB，

∴△BPM≌△NBQ.∴PM＝BQ.由(1)得y＝x2＋2x－3，∴Q(－1，0)，B(－3，0)

∴BQ＝2，∴PM＝BQ＝2.

∵點P是抛物線y＝x2＋2x－3上B、C之間的一個動點，且點P的縱坐标為－2，

将y＝－2代入y＝x2＋2x－3，得－2＝x2＋2x－3，

解得x1＝－1－，x2＝－1＋ (不合題意，舍去) ．∴點P的坐标為(－1－，－2)；

(3)存在．如解圖②，連接AC，BC，CP，PB，過點P作PD∥y軸交BC于點D，

圖②

∵A(1，0)，B(－3，0)，C(0，－3)，∴S△ABC＝×3×4＝6．

直線BC的解析式為y＝－x－3.

設P(t，t2＋2t－3)，則D(t，－t－3)，

∴S△BPC＝×3×(－t－3－t 2－2 t ＋3)＝－t2－t，

∴S四邊形PBAC＝－t2－t＋6＝－ (t＋)2＋，

當t＝－時，S四邊形PBAC存在最大值，最大值為.此時點P的坐标為(－，－)．

專題過關

2．（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2）代入y=ax2 bx c，得

解得a=﹣，b=，c=2．∴抛物線的解析式為y=﹣x2 x 2．

（2）設點P的坐标為（t，﹣t2 t 2）．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4．

∴S=AB•PD=×4×（﹣t2 t 2）=﹣t2 t 4（0＜t＜3）．

3.(1)∵抛物線過點A(－1，0)和點B(5，0)，

∴∴，　∴抛物線的函數解析式為y＝x2－4x－5；

(2)∵OB＝OC＝5，∴∠ABC＝∠OCB＝45°．

∴以B，C，D三點為頂點的三角形要與△ABC相似，必須要有一個角等于45°.

(ⅰ)當點D在點C的下方時，∠BCD＝180°－45°＝135°，

∴不會出現45°角，∴此種情況不存在；

(ⅱ)當點D在點C的上方時，∠BCD＝45°，易得BC＝OB＝5，AB＝OA＋OB＝1＋5＝6，

存在兩種情況：①當△BCD∽△ABC時，，

即＝．∴CD＝，OD＝CD－OC＝－5＝．∴D(0，)；

②當△DCB∽△ABC時，=，即＝．∴CD＝6，OD＝CD－OC＝6－5＝1．

∴點D(0，1) ．

綜上所述，點D的坐标為(0，1)或(0，)時，以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似；

(3)由y＝x2－4x－5，當y＝－5時，x2－4x－5＝－5，解得x1＝0，x2＝4．

∴E(4，－5) ．∴CE＝4．

設H(a，a2－4a－5) ．∵點H是在直線CE下方抛物線上的動點，

∴0＜a＜4.設直線BC的解析式為y＝kx＋b，

把點B(5，0)，C(0，－5)代入得

解得∴直線BC的解析式為y＝x－5．

設點F(a，a－5)，∴FH＝a－5－(a2－4a－5)＝－a2＋5a．

∵CE⊥FH，∴S四邊形CHEF＝CE·FH＝－2a2＋10a＝－2(a－)2＋．

∵0＜a＜4，∴當a＝時，四邊形CHEF面積有最大值，最大值是，此時H(，－)．

4．（1）将A（1，0）

，B（3，0）代入函數解析式，得

解得∴這個二次函數的解析式為y=x2－4x 3；

（2）當x=0時，y=3，即點C（0，3）．

設BC的解析式為y=kx b，将點B（3，0）點C（0，3）代入函數解析式，得

解這個方程組，得

∴直線BC的解析是為y=﹣x 3．

過點P作PE∥y軸，設交直線BC于點E坐标為（t，﹣t 3）．

∴PE=﹣t 3﹣（t﹣4t 3）=﹣t2 3t．∴S△BCP=S△BPE SCPE=（﹣t2 3t）×3=﹣（t﹣）2 ．

∵﹣＜0，∴當t=時，S△BCP最大=．

（3）設M（m，﹣m 3），N（m，m2﹣4m 3）．

∴MN=m2﹣3m，BM=|m﹣3|．

當MN=BM時，①m2﹣3m=（m﹣3），解得m=．

②m2﹣3m=﹣（m﹣3），解得m=﹣．當BN=MN時，∠NBM=∠BMN=45°．

m2﹣4m 3=0，解得m=1或m=3（舍去）；

當BM=BN時，∠BMN=∠BNM=45°，﹣（m2﹣4m 3）=﹣m 3，解得m=2或m=3（舍去）；

當△BMN是等腰三角形時，m的值為，﹣，1，2．

5.（1）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣3）（x 1），∵m≠0，∴當y=0時，x1=﹣1，x2=3．

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）設C1：y=ax2 bx c，将A，B，C三點的坐标代入得：

解得故C1：y=x2﹣x﹣．

如圖：過點P作PQ∥y軸，交BC于Q．

由B、C的坐标可得直線BC的解析式為：y=x﹣，

設P（x，x2﹣x﹣），則Q（x，x﹣），PQ=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2 x，

S△PBC=PQ•OB=×（﹣x2 x）×3=﹣（x﹣）2 ，

當x=時，S△PBC有最大值，Smax=．此時y=×（）2﹣﹣=﹣，∴P（，﹣）；

（3）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣1）2﹣4m，

頂點M坐标（1，﹣4m）,當x=0時，y=﹣3m．∴D（0，﹣3m），B（3，0）．

∴DM2=（0﹣1）2 （﹣3m 4m）2=m2 1，

MB2=（3﹣1）2 （0 4m）2=16m2 4，

BD2=（3﹣0）2 （0 3m）2=9m2 9．

當△BDM為Rt△時有：DM2 BD2=MB2或DM2 MB2=BD2．

①DM2 BD2=MB2時有：m2 1 9m2 9=16m2 4，

解

得m=﹣1（∵m＜0，∴m=1舍去）；

②DM2 MB2=BD2時有：m2 1 16m2 4=19m2 9，

解得m=﹣（m=舍去）．

綜上，m=﹣1或﹣時，△BDM為直角三角形．

1．（1）把y=0代入y=x 2得：0=x 2，解得：x=﹣4，∴A（﹣4，0）．

把點A的坐标代入y=x2 mx﹣2得：m=，∴抛物線的解析式為y=x2 x﹣2．

（2）過點D作DH∥y軸，交AB于點H，

設D（n，n2 n﹣2），H（n，n 2）．∴DH=（n 2）﹣（n2 n﹣2）=﹣（n 1）2 ．

∴當n=﹣1時，DH最大，最大值為，此時△ABD面積最大，最大值為××4=9．

（3）把y=0代入 y=x2 x﹣2，得：x2 3x﹣4=0，解得x=1或x=﹣4．∴C（1,0）.

設直線CQ的解析式為y=ax-a，CP的解析式為y=bx-b.則解得或∴xQ=2a-4.同理xP=2b-4.

設直線PQ的解析式為y=kx b，把M（﹣4，1）代入得：y=kx 4k 1．

∴．∴x2 （3﹣2k）x﹣8k﹣6=0．

∴xQ xP=2a﹣4 2b﹣4=2k﹣3，xQ•xP=（2a﹣4）（2b﹣4）=﹣8k﹣6．

解得ab=﹣．又∵OE=﹣b，OF=a，∴OE•OF=﹣ab=．

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