例：一天，小明做完作業正在休息，收音機中播放着輕松、悅耳的音樂.他拿了支筆，信手在紙上寫了“中”、“日”、“田”幾個字.突然，他腦子裡閃出一個念頭，這幾個字都能一筆寫出來嗎?

解：他試着寫了寫，“中”和“日”可以一筆寫成(沒有重複的筆劃)，但寫到“田”字，試來試去也沒有成功.下面是他寫的字樣.(見下圖)

這可真有意思!由此他又聯想到一些簡單的圖形，哪個能一筆畫成，哪個不能一筆畫成呢?下面是他試着畫的圖樣.(見下圖)

經過反複試畫，小明得到了初步結論：圖中的(1)、(3)、(5)能一筆畫成;(2)、(4)、(6)不能一筆畫成.真奇怪!小明發現，簡單的筆畫少的圖不一定能一筆畫得出來.而複雜的筆畫多的圖有時反倒能夠一筆畫出來，這其中隐藏着什麼奧秘呢?小明進一步又提出了如下問題：

如果說一個圖形是否能一筆畫出不決定于圖的複雜程度，那麼這事又決定于什麼呢?

能不能找到一條判定法則，依據這條法則，對于一個圖形，不論複雜與否，也不用試畫，就能知道是不是能一筆畫成?

先從最簡單的圖形進行考察.一些平面圖形是由點和線構成的.這裡所說的“線”，可以是直線段，也可以是一段曲線.而且為了明顯起見，圖中所有線的端點或是幾條線的交點都用較大的黑點“●”表示出來了.

首先不難發現，每個圖中的每一個點都有線與它相連;有的點與一條線相連，有的點與兩條線相連，有的點與3條線相連等等.

其次從前面的試畫過程中已經發現，一個圖能否一筆畫成不在于圖形是否複雜，也就是說不在于這個圖包含多少個點和多少條線，而在于點和線的連接情況如何——一個點在圖中究竟和幾條線相連.

看來，這是需要仔細考察的.第一組(見下圖)

(1)兩個點，一條線.

每個點都隻與一條線相連.

(2)三個點.

兩個端點都隻與一條線相連，中間點與兩條線連.

第一組的兩個圖都能一筆畫出來.

(但注意第(2)個圖必須從一個端點畫起)第二組(見下圖)

(1)五個點，五條線.

A點與一條線相連，B點與三條線相連，其他的點都各與兩條線相連.

(2)六個點，七條線.(“日”字圖)

A點與B點各與三條線相連，其他點都各與兩條線相連.

第二組的兩個圖也都能一筆畫出來，如箭頭所示那樣畫.即起點必需是A點(或B點)，而終點則定是B點(或A點).

第三組(見下圖)

(1)四個點，三條線.

三個端點各與一條線相連，中間點與三條線相連.

(2)四個點，六條線.

每個點都與三條線相連.

(3)五個點，八條線.

點O與四條線相連，其他四個頂點各與三條線相連.

第三組的三個圖形都不能一筆畫出來.

第四組(見下圖)

(1)這個圖通常叫五角星.

五個角的頂點各與兩條線相連，其他各點都各與四條線相連.

(2)由一個圓及一個内接三角形構成.

三個交點，每個點都與四條線相連(這四條線是兩條線段和兩條弧線).

(3)一個正方形和一個内切圓構成.

正方形的四個頂點各與兩條線相連，四個交點各與四條線相連.

(四條線是兩條線段和兩條弧線).

第四組的三個圖雖然比較複雜，但每一個圖都可以一筆畫成，而且畫的時候從任何一點開始畫都可以.第五組(見下圖)

(1)這是“品”字圖形，它由三個正方形構成，它們之間沒有線相連.

(2)這是古代的錢币圖形，它是由一個圓形和中間的正方形方孔組成.圓和正方形之間沒有線相連.

第五組的兩個圖形叫不連通圖，顯然不能一筆把這樣的不連通圖畫出來.

進行總結、歸納，看能否找出可以一筆畫成的圖形的共同特點，為方便起見，把點分為兩種，并分别定名：

把和一條、三條、五條等奇數條線相連的點叫做奇點;把和兩條、四條、六條等偶數條線相連的點叫偶點，這樣圖中的要麼是奇點，要麼是偶點.

提出猜想：一個圖能不能一筆畫成可能與它包含的奇點個數有關，對此列表詳查：

從此表來看，猜想是對的.下面試提出幾點初步結論：

①不連通的圖形必定不能一筆畫;能夠一筆畫成的圖形必定是連通圖形.

②有0個奇點(即全部是偶點)的連通圖能夠一筆畫成.(畫時可以任一點為起點，最後又将回到該點).

③隻有兩個奇點的連通圖也能一筆畫成(畫時必須以一個奇點為起點，而另一個奇點為終點);

④奇點個數超過兩個的連通圖形不能一筆畫成.最後，綜合成一條判定法則：

有0個或2個奇點的連通圖能夠一筆畫成，否則不能一筆畫成.

能夠一筆畫成的圖形，叫做“一筆畫”.

用這條判定法則看一個圖形是不是一筆畫時，隻要找出這個圖形的奇點的個數來就能行了，根本不必用筆試着畫來畫去.

看看下面的圖可能會加深你對這條法則的理解.

從畫圖的過程來看：筆總是先從起點出發，然後進入下一個點，再出去，然後再進出另外一些點，一直到最後進入終點不再出來為止.由此可見：

①筆經過的中間各點是有進有出的，若經過一次，該點就與兩條線相連，若經過兩次則就與四條線相連等等，所以中間點必為偶點.

②再看起點和終點，可分為兩種情況：如果筆無重複地畫完整個圖形時最後回到起點，終點和起點就重合了，那麼這個重合點必成為偶點，這樣一來整個圖形的所有點必将都是偶點，或者說有0個奇點;如果筆畫完整個圖形時最後回不到起點，就是終點和起點不重合，那麼起點和終點必定都是奇點，因而該圖必有2個奇點，可見有0個或2個奇點的連通圖能夠一筆畫成.

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