話題：#科學# #數學# #集合論# #抽象代數# #測度論#

小石頭/編

集合可能是唯一沒有精确定義的數學概念吧，雖然 它構成數學的基礎！（反正，小石頭從中學到現在，也沒有看到一個精确的集合定義，如果大家有，請發表在評論中。）

提到 集合 大體可以認為是一些對象 雜亂無章（也就是 無序）的放在一起，這些對象稱為集合的 元素。概念來自哲學，其性質被稱為 内涵，其涵蓋的具體實例 的全體 被稱為 外延，例如：

人，内涵 = 高級動物，外延 = 張三、李四、...

集合 也是一種概念，故 可以用 内涵 和 外延 兩種方式定義，

• 内涵法：指定 集合元素 所滿足的屬性，基本形式是，
• E = {x | P(x) }
• 例如：令 P(x) = x是高級動物，則 人 = {x | P(x)}；

• 外延法：将 集合元素 羅列出來，基本形式是，
• E = {a, b, c, ⋯}
• 注：雖然羅列元素時，我們給元素排了一個順序，但集合中元素是沒有順序的。
• 例如：人 = {張三,李四, ... }；

注：習慣上用，小寫字母表示 非集合，用 大寫字母表示 集合。

根據集合的定義，集合自身，自然附帶一個元素與集合的關系判斷：

如果 對象 x 是集合 E 的元素，我們 稱 x 屬于 E，記為 x ∈ E，反之 則 x 不屬于 E，記為 x ∉ E := ¬(x ∈ E)。

※※※

為了描述清楚，本文會使用 一階邏輯語言，它由以下三部分組成：

• 邏輯值：真 1，假 0；
• 邏輯運算：
• 一元 ：非 ¬；
• 二元： 與 ∧，或 ∨，蘊含 ⇒，等價 ⇔；
• 任意元（包括 零元）：恒真 ⊤ ，恒假 ⊥；
• 量詞：全稱量詞 ∀ ，存在量詞 ∃；
• 用 := 表示定義。

一階邏輯語言和自然語言之間翻譯對照為：

• 1 = 真，0 = 假；
• ¬ x = 不是 x，非 x；
• x ∧ y = x 且 y；
• x ∨ y = x 或 y；
• x ⇒ y = 如果 x 那麼 y，若 x 則 y；
• x ⇔ y = x 當且僅當 y，x 的從要條件是 y；
• ⊤ = ⊤(x, ...) = 真，⊥ = ⊥(x, ...) = 假；

• ∀ x ∈ E, y = 對于E中的任意 x 都有 y；
• ∃ x ∈ E, y = E中存在 x 使得y；
• ∃! x ∈ E, y = E中存在唯一 x 使得y；
• x := y = x 定義為 y。

關于 一階邏輯語言 更詳細的内容，可參考 小石頭 首頁 的文章《 一階邏輯簡介》或 相關的邏輯學書籍。

※※※

有了 ∈（∉） 後，我們就可以其為基礎，就定義 集合關系 和 集合運算 了：

如果 集合 B 的 所有 元素 都屬于 集合 A，則稱 B 包含于 A 或 A 包含 B，記為，

• B ⊆ A 或 A ⊇ B := ∀ x∈B ⇒ x∈A

同時，我們也 稱 B 是 A 的子集， A 是 B 的 超集。集合 A 的所有子集，組成的集合稱為 A 的 幂集，記為，

• P(A) := {B | B ⊆ A } ❹

像幂集這種，元素是集合的 集合，稱為 集族（或 集系 、集類）。

注：習慣上用，大寫花體或粗體來表示 集族。

集合還是比較抽象的，不過我們可以借助 Venn圖 來輔助理解（記得小石頭小時候全靠它了），這裡的包含可繪制如下圖：

若 A 和 B 相互包含，則 A 和 B 相等，即，

• A = B := A ⊆ B ∧ B ⊇ A ❶

交 和 并 可能是大家接觸最早的 兩種集合運算吧！（小石頭是高一初見的，不知道大家是啥時候？）

兩個集合 A 與 B 的 交 運算定義為：

• A ∩ B := { x | x∈A ∧ x ∈ B }

其結果，是 兩集合共同擁有的元素組成的集合，稱為 交集。交 的 Venn圖如下：

兩個集合 A 與 B 的 并 運算定義為：

• A ∪ B := { x | x∈A ∨ x ∈ B }

其結果，是 兩個集合的元素和在一起組成的集合，稱為 并集。并 的 Venn圖如下：

又設 E 是集族，我們 還可 分别 升級 交 與 并 運算為：

• ∩ E := {x | ∀ A ∈ E， x ∈ A }
• ∪ E := {x | ∃ A ∈ E， x ∈ A } ❸

并集，其實就是将 B 中的元素添加到了 A 中的結果，與之相反，從 A 中除去B中的元素 則 得到 差集，對應 的差 運算定義為：

• A \ B = { x | x∈A ∧ x ∉ B}

差 并不要求 A 一定包含 B，其 Venn圖如下：

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專門研究集合的數學叫集合論，集合論中要求集合必須滿足：

• 一個對象是否屬于一個集合 必須是明确的； ☆

可是實際上，前面集合的内涵定義，有時候并不滿足這個要求，例如：

用内涵法定義集合

• E = {x | x ∉ E}

判斷 E 是否屬于它自己？

• 如果 E ∈ E，則 它 就不符合 屬性 x ∉ E，于是 E ∉ E，矛盾！
• 如果 E ∉ E，則 它就 符合 屬性 x ∉ E，于是 E ∈ E，矛盾！

無論怎樣都會産下矛盾，也就是說，E 不滿足 ☆，這就是 著名的 羅素悖論，其通俗版本就是，

• 理發師悖論：村裡的理發師宣稱：“我不給，給自己刮胡子的人，刮胡子”，于是有人問：“那你給自己刮胡子嗎？”。

羅素悖論直接導緻了第三次數學危機，為了應對危機，數學家想了一個方法 ①：

• 先指定一個滿足☆的集合 X，然後在 X 範圍内 使用 内涵法，基本形式是，
• E = {x∈ X | P(x) } ❷
• 這樣以來，定義結果 一定是 X 的子集，自然也就滿足☆了。

一般來說，X 包含了 上下文 所需要研究 的所有對象，是最大的集合，被稱為 全集。

※※※

有了全集 X 後，我們就可以定義 補運算了：

• Aᶜ = X \ A

其中 Aᶜ 稱為 A 的補集。 補 的Venn圖如下：

與全集相對是 空集，它不包含任何元素，可定義為：

• 内涵法：∅ := {x| x≠x}；
• 外延法：∅ := { }；

這兩種定義等價。

最後，還有一種不常見的 對等差 運算，定義為：

• A △ B = (A\B) ∪ (B\A)

它用來 表示兩個 集合 A 和 B 差異 ，其 Venn圖如下：

顯然有，

• A △ B = ∅ ⇔ A = B

---

方法 ① 僅僅是 數學家 的權宜之計，并不能從根本上解決問題，這對于 邏輯學家 是不能容忍的，于是他們另想了一個主意：

• 内涵法 不一定滿足☆ 是事實，這意味着，内涵法的定義結果不一定是集合，于是 幹脆 将其改稱為 類；
• 類 可以 是集合（滿足☆） ，也可以 不是（不不滿足☆）這時稱為 真類；
• 從公理化思維角度看，内涵法 和 外延法 分别 是 集合 的唯二 的 兩大 公理，現在：
• ○ 外延法 沒問題，保留！稱為 ◎ 外延公理 ：就是 前面的 ❶；
• ○ 内涵法 有問題，于是 考慮 找尋 一組 公理 來替代它！邏輯學家總共找到8個：
• ◎ 配對公理： 任意 a, b 都可組成 集合 {a，b}，稱為 無序對；
• ◎ 分離公理圖式：就是前面的 ❷；
• ◎ 并公理：就是前面的 ❸；
• ◎ 幂集公理：就是前面的 ❹；
• ◎ 無限公理：存在一個無限集；
• ◎ 替換公理圖式：若 F 是定義在 A 上的 函數，則存在 集合 F(A) := {F(x) | x ∈ A}；
• ◎ 正則公理：集合不能直接或間接的屬于自己（防止羅素悖論）；
• ◎ 選擇公理： 任何 非空集合組成的集族 上，都存在 選擇函數，它自每一個元素集合中選擇一個元素組成新的集合。

以上這 九個公理，這就是大名鼎鼎的 ZFC 公理。

至此， 第三次數學危機，基本上已經被解決了，但還留了一個尾巴：

• 在完備性上，再多的公理 也 不可能 完全 替代内涵法（詳見 哥德爾不完備定理）

不過也隻能這樣了。

---

其實我們最熟悉的運算是算術四則運算：加減乘除，其中減和除分别是加和乘的逆運算。在有理數域ℚ内考察，加（ ）和乘（⋅）運算，我們發現它們具有如下性質：

運算	結合律	單位	可逆	交換律	分配律
	(a b) c=a (b c)	0 a=a	a (-a)=0	a b=b a
⋅	(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)			a⋅b=b⋅a	a⋅(b c)=a⋅b a⋅c

稱具有這樣性質的 (ℚ, , ⋅) 為 環；與之比較，集合運算的對等差和交具有如下性質（設，X 是非空集合，在P(X)中考察）：

運算	結合律	單位	可逆	交換律	分配律
△	(A△B)△C=A△(B△C)	∅△A=A	A△Aᶜ=∅	A△B=B△A
∩	(A∩B)∩C=A∩(B∩C)			A∩B=B∩A	A∩(B△C)=(A∩B)△(A∩C)

故，(P(X), △, ∩) 也構成一個 環。 再進一步，若 非空集族 E 滿足：

• 對 并封閉，即，A∈E, B ∈E ⇒ A∪B∈E；
• 對 差封閉，即，A∈E, B ∈E ⇒ A\B∈E；

則有，

∅ = A \ A ∈ E

而，

A △ B = (A \ B) ∪ (B \ A) ∈E

A∩B =(A∪B) \ (A△B) ∈E

故， E 具有表二要求的運算，于是 E 是 環。

※※※

邏輯運算：或（∨）、與（∧）、非（¬），是我們接觸的另外一類運算，發現它們具有如下性質（在 布爾值集 B={0, 1} 中考察）：

運算	交換律	結合律	吸收律	分配律	單位
∨	a∨b=b∨a	(A∨B)∨C=A∨(B∨C)	a∨(a∧b)=a	A∨(B∧C)=(A∨B)∨(A∨C)	0∨a=a	a∧¬a=1
∧	a∧b=b∧a	(A∧B)∧C=A∧(B∧C)	a∧(a∨b)=a	A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)	1∧a=a	a∧¬a=0

稱具有這樣性質的 (B, ∨, ∧, ¬) 為 布爾代數；将集合運算：交、并、補，與之比較有（依舊在 P(X)中考察）：

運算	交換律	結合律	吸收律	分配律	單位
∪	A∪B=B∪A	(A∪B)∪C=A∪(B∪C)	A∪(A∩B)=A	A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)	∅∪A=A	A∪Aᶜ=X
∩	A∩B=B∩A	(A∩B)∩C=A∩(B∩C)	A∩(A∪B)=A	A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)	X∩A=A	A∩Aᶜ=∅

我們發現，(P(X), ∪, ∩, ᶜ) 構成一個 布爾代數。更進一步，對于任意非空集族 E ，如果滿足：

• 對 并封閉；⑴
• 對 補封閉，即，A∈E ⇒ Aᶜ∈E；

則有，

X = A∪Aᶜ ∈ E

∅ = Xᶜ ∈ E

又根據德摩根定律有，

A∩B = ((A∩B)ᶜ)ᶜ = (Aᶜ∪Bᶜ)ᶜ ∈E

于是，E 就能滿足表四的性質了，故 E 是 （布爾）代數。

注：另外，從表四中，我們還能看出，(P(X), ∪, ∩) 距離 成環，隻少一個 可逆 的性質，于是稱 其為 半環。環E，要求 對 并 和 差 封閉，而 半環 要求，對 交封閉，并且 對于任意A, B ∈ E，B ⊆ A ，都存在 兩兩不相交 的 C₁, C₂, ..., Cᵣ ∈ E 使得，A\B = C₁∪C₂∪⋯∪Cᵣ 。

※※※

對于 任意 代數 E，因，

A \ B = A ∩ Bᶜ

故 E 是滿足 X∈ E 的 環，稱為 布爾環； 反過來 對于 布爾環 E，則有，

Aᶜ = X \ A；

故 E 是 代數。

※※※

以上的集合運算性質的詳細證明省略（留給大家完成），這裡僅通過Venn圖簡單的佐證一部分，

結合律：

分配律：

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《高等數學》中極限，大家都聽說過，其實用集合的運算，同樣可以定極限：對于 集合序列 A₁, A₂, A₃, ...，

• 若 A₁ ⊆ A₂ ⊆ A₃ ⊆ ...，則稱為單調遞增的，并 定義極限：
• ○ limn→∞ An = ∪ᵢ₌₁∞ Aᵢ = A₁∪A₂∪A₃∪⋯；
• 若 A₁ ⊇ A₂ ⊇ A₃ ⊇ ...，則稱為單調遞減的，并 定義極限：
• ○ limn→∞ An = ∩ᵢ₌₁∞ Aᵢ = A₁∩A₂∩A₃∩⋯；

對于任何序列 A₁, A₂, ...，我們總能構造，

• 單調遞增序列： B₁ = A₁∩A₂∩A₃∩⋯ ⊆ B₂ = A₂∩A₃∩⋯ ⊆ B₂ = A₃∩⋯ ⊆ ⋯，于是定義下極限：
• ○ lim inf n→∞ An = limn→∞ Bn；
• 單調遞減序列：B₁ = A₁∩A₂∩A₃∩⋯ ⊇ B₂ = A₂∩A₃∩⋯ ⊇ B₃ = A₃∩⋯ ⊇⋯，于是定義上極限：
• ○ lim sup n→∞ An = limn→∞ Bn；

當上下極限相等時，則稱 序列 的 極限存在，并記為：

• limn→∞ An = lim inf n→∞ An = lim sup n→∞ An

※※※

考慮，代數 E，若将其條件⑴ 從對 并封閉，改為：

• 對 可列并封閉（也成 E 具有 σ 性），即，A₁, A₂, A₃, ... ∈ E ⇒ A₁∪A₂∪A₃∪⋯∈E；

則有，

A₁∩A₂∩A₃∩⋯ = (( A₁∩A₂∩A₃∩⋯)ᶜ)ᶜ = (A₁∪A₂∪A₃∪⋯)ᶜ ∈E；

于是，E 就支持了 上面 的 極限定義，此時稱 E 為 σ 代數。類似地，具有 σ 性的環 σ 環，稱為 σ 環（或 σ 代數） 是 可測空間 的基礎。

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（好了，亂七八糟地，就和大家聊這麼多了。集合是從高中階段開始接觸的，比較抽象的概念之一，它對于數學至關重要，希望這篇文章對大家理解集合有所幫助。最後，小石頭 在這裡 祝大家 五一節 玩的高興！）

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