一、如圖所示，△ABC≌△ADE，BC的延長線過點E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF的度數。

解：∵△ABC≌△AED

∴∠D=∠B=50°

∵∠ACB=105°

∴∠ACE=75°

∵∠CAD=10° ∠ACE=75°

∴∠EFA=∠CAD ∠ACE=85°（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個内角的和）

同理可得∠DEF=∠EFA-∠D=85°-50°=35°

二、如圖，△AOB中，∠B=30°，将△AOB繞點O順時針旋轉52°，得到△A′OB′，邊A′B′與邊OB交于點C（A′不在OB上），則∠A′CO的度數為多少？

解：∵△A′OB′是由△AOB繞點O順時針旋轉得到，∠B=30°，

∴∠B′=∠B=30°，

∵△AOB繞點O順時針旋轉52°，

∴∠BOB′=52°，

∵∠A′CO是△B′OC的外角，

∴∠A′CO=∠B′ ∠BOB′=30° 52°=82°．

三、如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的點，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數是多少？

解：∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠A=∠DEB=∠DEC，∠ADB=∠BDE=∠EDC，∵∠DEB ∠DEC=180°，∠ADB ∠BDE EDC=180°，∴∠DEC=90°，∠EDC=60°，∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC，=180°-90°-60°=30°．

四、如圖所示，把△ABC繞點C順時針旋轉35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于點D，若∠A′DC=90°，則∠A等于多少？

解：∵三角形△ABC繞着點C時針旋轉35°，

得到△AB′C′∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°

∴∠A′=55°，

∵∠A的對應角是∠A′，即∠A=∠A′，

∴∠A=55°；

故答案為：55°．

五、已知，如圖所示，AB=AC，AD⊥BC于D，且AB AC BC=50cm,而AB BD AD=40cm，則AD是多少？

因為AB=AC 三角形ABC是等腰三角形

所以 AB AC BC=2AB BC=50

BC=50-2AB=2(25-AB)

又因為AD垂直于BC于D，所以 BC=2BD，BD=25-AB

AB BD AD=AB 25-AB AD=AD 25=40

AD=40-25=15cm

六、如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别過點B、C作過點A的垂線BC、CE，垂足分别為D、E，若BD=3，CE=2，則D是多少？

解：∵BD⊥DE，CE⊥DE∴∠D=∠E

∵∠BAD ∠BAC ∠CAE=180°

又∵∠BAC=90°，

∴∠BAD ∠CAE=90°

∵在Rt△ABD中，∠ABD ∠BAD=90°

∴∠ABD=∠CAE

∵在△ABD與△CAE中

∠ABD=∠CAE，∠D=∠E， AB=AC

∴△ABD≌△CAE（AAS）

∴BD=AE，AD=CE

∵DE=AD AE∴DE=BD CE

∵BD=3，CE=2 ∴DE=5

七、如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，連接EF，交AD于G，AD與EF垂直嗎？證明你的結論。

證明：∵AD是∠BAC的平分線∴∠EAD＝∠FAD

又∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠AED＝∠AFD＝90°

邊AD公共

∴Rt△AED≌Rt△AFD（AAS）

∴AE＝AF

即△AEF為等腰三角形

而AD是等腰三角形AEF頂角的平分線

∴AD⊥底邊EF（關注公衆号：初一數學語文英語）

（等腰三角形的頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高的重合（簡寫成“三線合一”）

八、如圖所示，在△ABC中，AD為∠BAC的角平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面積是28cm2,AB=20cm，AC=8cm，求DE的長？

AD平分∠BAC，則∠EAD=∠FAD，∠EDA=∠DFA=90度，AD=AD

所以△AED≌△AFD

DE=DF

S△ABC=S△AED S△AFD

28=1/2(AB*DE AC*DF)=1/2(20*DE 8*DE)

DE=2

九、已知，如圖：AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，求證：AF⊥CD

AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD

則△ABC≌△AED

AC=AD

△ACD是等腰三角形

∠CAF=∠DAF

AF平分∠CAD

則AF⊥CD

十、如圖，AD=BD，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點H，則BH與AC相等嗎？為什麼？

解：∵AD⊥BC

∴∠ADB＝∠ADC＝90

∴∠CAD ∠C＝90

∵BE⊥AC

∴∠BEC＝∠ADB＝90

∴∠CBE ∠C＝90

∴∠CAD＝∠CBE

∵AD＝BD

∴△BDH≌△ADC （ASA）

∴BH＝AC

十一、如圖所示，已知，AD為△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求證：BE⊥AC

解：證明：∵AD⊥BC（已知），

∴∠BDA=∠ADC=90°（垂直定義），

∴∠1＋∠2=90°（直角三角形兩銳角互餘）.

在Rt△BDF和Rt△ADC中，

∴Rt△BDF≌Rt△ADC（H.L）.

∴∠2=∠C（全等三角形的對應角相等）.

∵∠1＋∠2=90°（已證），所以∠1＋∠C=90°.

∵∠1＋∠C＋∠BEC=180°

（三角形内角和等于180°），

∴∠BEC=90°.

∴BE⊥AC（垂直定義）

瓜豆原理的内容有兩個：

1、線段的一個端點在某個圖形上運動的時候，線段中點的運動軌迹和這個圖形位似。位似比是1：2。當然，其他比也可。

如上圖，點C在線段AB上運動，CD的中點的軌迹也是一條線段，并且長度與AB之比等于1：2

如上圖，點A在圓O上面運動時，AB的中點軌迹也是一個圓，并且半徑之比等于1：2

從上面的圖上可以看出，線段HI上的任意一點的軌迹都和AB相似，相似等于點在分成的線段和整體的比，如下圖：位似比等于HK：HI。

在圓上可以得到同樣的結論。

2、形狀确定（大小可變可不變）的三角形的一個頂點繞另一個頂點在一個圖形運動時，第三頂點的軌迹和這個圖形位似。

如上圖，△DFE的一個頂點F不動，頂點D在△ABC上運動的時候，另一個頂點E的運動軌迹也是三角形。

動點軌迹之“圓”

引例1

如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．當點P在圓O上運動時，Q點軌迹是？

【分析】觀察動圖：

點Q軌迹是個圓，而我們還需确定的是此圓與圓O有什麼關系？

考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌迹圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

【小結】确定Q點軌迹圓即确定其圓心與半徑，

由A、Q、P共線可得：A、M、O三點共線，

由Q為AP中點可得：AM=1/2AO．

Q點軌迹相當于是P點軌迹成比例縮放．

引例2

如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．當點P在圓O上運動時，Q點軌迹是？

【分析】動圖先看結果：

Q點軌迹是個圓，可理解為将AP繞點A逆時針旋轉90°得AQ，故Q點軌迹與P點軌迹都是圓．接下來确定圓心與半徑．

考慮AP⊥AQ，可得Q點軌迹圓圓心M滿足AM⊥AO；

考慮AP=AQ，可得Q點軌迹圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．

即可确定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．

根據動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系；根據動點之間的數量關系分析軌迹圓半徑數量關系．

引例3

如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌迹是？

【分析】動圖先看結果：

考慮AP⊥AQ，可得Q點軌迹圓圓心M滿足AM⊥AO；

考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌迹圓圓心M滿足AO:AM=2:1．

即可确定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．

模型總結

為了便于區分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”．

【條件】兩個定量

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．

【結論】

（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；

（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．

按以上兩點即可确定從動點軌迹圓，Q與P的關系相當于旋轉 伸縮．

古人雲：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”．

思考1

如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為一邊作等邊△APQ．

考慮：當點P在圓O上運動時，Q點軌迹是？

【分析】Q點滿足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q點軌迹是個圓：

考慮∠PAQ=60°，可得Q點軌迹圓圓心M滿足∠MAO=60°；

考慮AP=AQ，可得Q點軌迹圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO．

即可确定圓M位置，任意時刻均有△APO≌△AQM．

【小結】可以理解AQ由AP旋轉得來，故圓M亦由圓O旋轉得來，旋轉角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數量關系．

思考2如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角△APQ．考慮：當點P在圓O上運動時，如何作出Q點軌迹？軌迹？

【分析】Q點滿足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=根号2：1，故Q點軌迹是個圓．

連接AO，構造∠OAM=45°且AO:AM=根号2：1．M點即為Q點軌迹圓圓心，此時任意時刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定點Q的軌迹圓．

真題戰場

2016餘姚模拟

如圖，點P（3,4），圓P半徑為2，A（2.8,0），B（5.6,0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_______．

【分析】M點為主動點，C點為從動點，B點為定點．考慮C是BM中點，可知C點軌迹：取BP中點O，以O為圓心，OC為半徑作圓，即為點C軌迹．

當A、C、O三點共線且點C在線段OA上時，AC取到最小值，根據B、P坐标求O，利用兩點間距離公式求得OA，再減去OC即可．

2016武漢中考

如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2倍根号2，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為________．

【分析】考慮C、M、P共線及M是CP中點，可确定M點軌迹：

取AB中點O，連接CO取CO中點D，以D為圓心，DM為半徑作圓D分别交AC、BC于E、F兩點，則弧EF即為M點軌迹．

當然，若能理解M點與P點軌迹關系，可直接得到M點的軌迹長為P點軌迹長一半，即可解決問題．

2018南通中考

如圖，正方形ABCD中，AB=2倍根号5，O是BC邊的中點，點E是正方形内一動點，OE=2，連接DE，将線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，連接AE、CF．求線段OF長的最小值．

【分析】E是主動點，F是從動點，D是定點，E點滿足EO=2，故E點軌迹是以O為圓心，2為半徑的圓．

考慮DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F點軌迹是以點M為圓心，2為半徑的圓．

直接連接OM，與圓M交點即為F點，此時OF最小．可構造三垂直全等求線段長，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值．

一條隐藏的瓜豆

△ABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為______．

【分析】考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定AB，将AC看成動線段，由此引發正方形BCED的變化，求得線段AO的最大值．

根據AC=2，可得C點軌迹是以點A為圓心，2為半徑的圓．

接下來題目求AO的最大值，所以确定O點軌迹即可，觀察△BOC是等腰直角三角形，銳角頂點C的軌迹是以點A為圓心，2為半徑的圓，所以O點軌迹也是圓，以AB為斜邊構造等腰直角三角形，直角頂點M即為點O軌迹圓圓心．

連接AM并延長與圓M交點即為所求的點O，此時AO最大，根據AB先求AM，再根據BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO，相加即得AO．

此題方法也不止這一種，比如可以如下構造旋轉，當A、C、A’共線時，可得AO最大值．

或者直接利用托勒密定理可得最大值．

02動點軌迹之“直線”

引例1

如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌迹是？

【分析】先看動圖結果：

當P點軌迹是直線時，Q點軌迹也是一條直線．

可以這樣理解：分别過A、Q向BC作垂線，垂足分别為M、N：

在運動過程中，因為AP=2AQ，所以AM=2QN，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌迹是一條直線．

引例2

如圖，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌迹？

【分析】動圖先看結果：

當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌迹是同一種圖形．

當确定軌迹是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置Q1和終點位置Q2，連接即得Q點軌迹線段．

模型總結

【必要條件】

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；

主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．

【結論】

P、Q兩點軌迹所在直線的夾角等于∠PAQ（當∠PAQ≤90°時，∠PAQ等于MN與BC夾角）

P、Q兩點軌迹長度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）

真題戰場

2017姑蘇區二模

如圖，在等邊△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點P從點E出發沿EA方向運動，連結PD，以PD為邊，在PD的右側按如圖所示的方式作等邊△DPF，當點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是________．

【分析】根據△DPF是等邊三角形，所以可知F點運動路徑長與P點相同，P從E點運動到A點路徑長為8，故此題答案為8．

2013湖州中考

如圖，已知點A是第一象限内橫坐标為2倍根号3的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y=-x于點N，若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點随之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是________．

【分析】根據∠PAB=90°，∠APB=30°可得：AP:AB=根号3:1，故B點軌迹也是線段，且P點軌迹路徑長與B點軌迹路徑長之比也為根号3:1，P點軌迹長ON為2倍根号6，故B點軌迹長為2倍根号2．

坐标系中的最值

如圖，在平面直角坐标系中，A（-3,0），點B是y軸正半軸上一動點，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值．

【分析】求OP最小值需先作出P點軌迹，根據△ABP是等邊三角形且B點在直線上運動，故可知P點軌迹也是直線．

取兩特殊時刻：（1）當點B與點O重合時，作出P點位置P1；（2）當點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時，作出P點位置P2．連接P1P2，即為P點軌迹．

根據∠ABP=60°可知：P1P2與y軸夾角為60°，作OP⊥P1P2，所得OP長度即為最小值，OP2=OA=3，所以OP=3/2．

2019宿遷中考

如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE=1，F為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為_______．

【分析】同樣是作等邊三角形，區别于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以将F點看成是由點B向點A運動，由此作出G點軌迹．

考慮到F點軌迹是線段，故G點軌迹也是線段，取起點和終點即可确定線段位置，初始時刻G點在G1位置，最終G點在G2位置（G2不一定在CD邊），G1G2即為G點運動軌迹．

CG最小值即當CG⊥G1G2的時候取到，作CH⊥G1G2于點H，CH即為所求的最小值．

根據模型可知：G1G2與AB夾角為60°，故G1G2⊥EG1．

過點E作EF⊥CH于點F，則HF=G1E=1，CF=1/2CE=3/2，

所以CH=5/2，因此CG的最小值為5/2．

03動點軌迹之“其他圖形”

所謂“瓜豆原理”，就是根據主、從動點與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可确定從動點的軌迹，而當主動點軌迹是其他圖形時，從動點軌迹必然也是．

2016樂山中考

如圖，在反比例函數y=-2/x的圖像上有一個動點A，連接AO并延長交圖像的另一支于點B，在第一象限内有一點C，滿足AC=BC，當點A運動時，點C始終在函數y=k/x的圖像上運動，若tan∠CAB=2，則k的值為（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【分析】依舊動圖觀察：

∠AOC=90°且AO:OC=1:2，顯然點C的軌迹也是一條雙曲線，分别作AM、CN垂直x軸，垂足分别為M、N，連接OC，易證△AMO∽△ONC，∴CN=2OM，ON=2AM，∴ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8．

【思考】若将條件“tan∠CAB=2”改為“△ABC是等邊三角形”，k會是多少？

動點軌迹三角形

如圖，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），點P是△ABC邊上一動點，連接OP，以OP為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OPQ，當點P在△ABC邊上運動一周時，點Q的軌迹形成的封閉圖形面積為________．

【分析】根據△OPQ是等腰直角三角形可得：Q點運動軌迹與P點軌迹形狀相同，根據OP:OQ=根号2:1，可得P點軌迹圖形與Q點軌迹圖形相似比為根号2:1，故面積比為2:1，△ABC面積為1/2×3×4=6，故Q點軌迹形成的封閉圖形面積為3．

【小結】根據瓜豆原理，類似這種求從動點軌迹長或者軌迹圖形面積，根據主動點軌迹推導即可，甚至無需作圖．

聲明：整理自網絡

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