一、如圖所示,△ABC≌△ADE,BC的延長線過點E,∠ACB=∠AED=105°,∠CAD=10°,∠B=50°,求∠DEF的度數。
解:∵△ABC≌△AED
∴∠D=∠B=50°
∵∠ACB=105°
∴∠ACE=75°
∵∠CAD=10° ∠ACE=75°
∴∠EFA=∠CAD ∠ACE=85°(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個内角的和)
同理可得∠DEF=∠EFA-∠D=85°-50°=35°
二、如圖,△AOB中,∠B=30°,将△AOB繞點O順時針旋轉52°,得到△A′OB′,邊A′B′與邊OB交于點C(A′不在OB上),則∠A′CO的度數為多少?
解:∵△A′OB′是由△AOB繞點O順時針旋轉得到,∠B=30°,
∴∠B′=∠B=30°,
∵△AOB繞點O順時針旋轉52°,
∴∠BOB′=52°,
∵∠A′CO是△B′OC的外角,
∴∠A′CO=∠B′ ∠BOB′=30° 52°=82°.
三、如圖所示,在△ABC中,∠A=90°,D、E分别是AC、BC上的點,若△ADB≌△EDB≌△EDC,則∠C的度數是多少?
解:∵△ADB≌△EDB≌△EDC,∴∠A=∠DEB=∠DEC,∠ADB=∠BDE=∠EDC,∵∠DEB ∠DEC=180°,∠ADB ∠BDE EDC=180°,∴∠DEC=90°,∠EDC=60°,∴∠C=180°-∠DEC-∠EDC,=180°-90°-60°=30°.
四、如圖所示,把△ABC繞點C順時針旋轉35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于點D,若∠A′DC=90°,則∠A等于多少?
解:∵三角形△ABC繞着點C時針旋轉35°,
得到△AB′C′∴∠ACA′=35°,∠A'DC=90°
∴∠A′=55°,
∵∠A的對應角是∠A′,即∠A=∠A′,
∴∠A=55°;
故答案為:55°.
五、已知,如圖所示,AB=AC,AD⊥BC于D,且AB AC BC=50cm,而AB BD AD=40cm,則AD是多少?
因為AB=AC 三角形ABC是等腰三角形
所以 AB AC BC=2AB BC=50
BC=50-2AB=2(25-AB)
又因為AD垂直于BC于D,所以 BC=2BD,BD=25-AB
AB BD AD=AB 25-AB AD=AD 25=40
AD=40-25=15cm
六、如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别過點B、C作過點A的垂線BC、CE,垂足分别為D、E,若BD=3,CE=2,則D是多少?
解:∵BD⊥DE,CE⊥DE∴∠D=∠E
∵∠BAD ∠BAC ∠CAE=180°
又∵∠BAC=90°,
∴∠BAD ∠CAE=90°
∵在Rt△ABD中,∠ABD ∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAE
∵在△ABD與△CAE中
∠ABD=∠CAE,∠D=∠E, AB=AC
∴△ABD≌△CAE(AAS)
∴BD=AE,AD=CE
∵DE=AD AE∴DE=BD CE
∵BD=3,CE=2 ∴DE=5
七、如圖,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,連接EF,交AD于G,AD與EF垂直嗎?證明你的結論。
證明:∵AD是∠BAC的平分線∴∠EAD=∠FAD
又∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠AED=∠AFD=90°
邊AD公共
∴Rt△AED≌Rt△AFD(AAS)
∴AE=AF
即△AEF為等腰三角形
而AD是等腰三角形AEF頂角的平分線
∴AD⊥底邊EF(關注公衆号:初一數學語文英語)
(等腰三角形的頂角的平分線,底邊上的中線,底邊上的高的重合(簡寫成“三線合一”)
八、如圖所示,在△ABC中,AD為∠BAC的角平分線,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC的面積是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,求DE的長?
AD平分∠BAC,則∠EAD=∠FAD,∠EDA=∠DFA=90度,AD=AD
所以△AED≌△AFD
DE=DF
S△ABC=S△AED S△AFD
28=1/2(AB*DE AC*DF)=1/2(20*DE 8*DE)
DE=2
九、已知,如圖:AB=AE,∠B=∠E,∠BAC=∠EAD,∠CAF=∠DAF,求證:AF⊥CD
AB=AE,∠B=∠E,∠BAC=∠EAD
則△ABC≌△AED
AC=AD
△ACD是等腰三角形
∠CAF=∠DAF
AF平分∠CAD
則AF⊥CD
十、如圖,AD=BD,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD與BE相交于點H,則BH與AC相等嗎?為什麼?
解:∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADC=90
∴∠CAD ∠C=90
∵BE⊥AC
∴∠BEC=∠ADB=90
∴∠CBE ∠C=90
∴∠CAD=∠CBE
∵AD=BD
∴△BDH≌△ADC (ASA)
∴BH=AC
十一、如圖所示,已知,AD為△ABC的高,E為AC上一點,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,求證:BE⊥AC
解:證明:∵AD⊥BC(已知),
∴∠BDA=∠ADC=90°(垂直定義),
∴∠1+∠2=90°(直角三角形兩銳角互餘).
在Rt△BDF和Rt△ADC中,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(H.L).
∴∠2=∠C(全等三角形的對應角相等).
∵∠1+∠2=90°(已證),所以∠1+∠C=90°.
∵∠1+∠C+∠BEC=180°
(三角形内角和等于180°),
∴∠BEC=90°.
∴BE⊥AC(垂直定義)
中考壓軸題:胡不歸問題
瓜豆原理的内容有兩個:
1、線段的一個端點在某個圖形上運動的時候,線段中點的運動軌迹和這個圖形位似。位似比是1:2。當然,其他比也可。
如上圖,點C在線段AB上運動,CD的中點的軌迹也是一條線段,并且長度與AB之比等于1:2
如上圖,點A在圓O上面運動時,AB的中點軌迹也是一個圓,并且半徑之比等于1:2
從上面的圖上可以看出,線段HI上的任意一點的軌迹都和AB相似,相似等于點在分成的線段和整體的比,如下圖:位似比等于HK:HI。
在圓上可以得到同樣的結論。
2、形狀确定(大小可變可不變)的三角形的一個頂點繞另一個頂點在一個圖形運動時,第三頂點的軌迹和這個圖形位似。
如上圖,△DFE的一個頂點F不動,頂點D在△ABC上運動的時候,另一個頂點E的運動軌迹也是三角形。
動點軌迹之“圓”
引例1
如圖,P是圓O上一個動點,A為定點,連接AP,Q為AP中點.當點P在圓O上運動時,Q點軌迹是?
【分析】觀察動圖:
點Q軌迹是個圓,而我們還需确定的是此圓與圓O有什麼關系?
考慮到Q點始終為AP中點,連接AO,取AO中點M,則M點即為Q點軌迹圓圓心,半徑MQ是OP一半,任意時刻,均有△AMQ∽△AOP,QM:PO=AQ:AP=1:2.
【小結】确定Q點軌迹圓即确定其圓心與半徑,
由A、Q、P共線可得:A、M、O三點共線,
由Q為AP中點可得:AM=1/2AO.
Q點軌迹相當于是P點軌迹成比例縮放.
引例2
如圖,P是圓O上一個動點,A為定點,連接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.當點P在圓O上運動時,Q點軌迹是?
【分析】動圖先看結果:
Q點軌迹是個圓,可理解為将AP繞點A逆時針旋轉90°得AQ,故Q點軌迹與P點軌迹都是圓.接下來确定圓心與半徑.
考慮AP⊥AQ,可得Q點軌迹圓圓心M滿足AM⊥AO;
考慮AP=AQ,可得Q點軌迹圓圓心M滿足AM=AO,且可得半徑MQ=PO.
即可确定圓M位置,任意時刻均有△APO≌△AQM.
根據動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系;根據動點之間的數量關系分析軌迹圓半徑數量關系.
引例3
如圖,△APQ是直角三角形,∠PAQ=90°且AP=2AQ,當P在圓O運動時,Q點軌迹是?
【分析】動圖先看結果:
考慮AP⊥AQ,可得Q點軌迹圓圓心M滿足AM⊥AO;
考慮AP:AQ=2:1,可得Q點軌迹圓圓心M滿足AO:AM=2:1.
即可确定圓M位置,任意時刻均有△APO∽△AQM,且相似比為2.
模型總結
為了便于區分動點P、Q,可稱點P為“主動點”,點Q為“從動點”.
【條件】兩個定量
主動點、從動點與定點連線的夾角是定量(∠PAQ是定值);
主動點、從動點到定點的距離之比是定量(AP:AQ是定值).
【結論】
(1)主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角:∠PAQ=∠OAM;
(2)主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比:AP:AQ=AO:AM,也等于兩圓半徑之比.
按以上兩點即可确定從動點軌迹圓,Q與P的關系相當于旋轉 伸縮.
古人雲:種瓜得瓜,種豆得豆.“種”圓得圓,“種”線得線,謂之“瓜豆原理”.
思考1
如圖,P是圓O上一個動點,A為定點,連接AP,以AP為一邊作等邊△APQ.
考慮:當點P在圓O上運動時,Q點軌迹是?
【分析】Q點滿足(1)∠PAQ=60°;(2)AP=AQ,故Q點軌迹是個圓:
考慮∠PAQ=60°,可得Q點軌迹圓圓心M滿足∠MAO=60°;
考慮AP=AQ,可得Q點軌迹圓圓心M滿足AM=AO,且可得半徑MQ=PO.
即可确定圓M位置,任意時刻均有△APO≌△AQM.
【小結】可以理解AQ由AP旋轉得來,故圓M亦由圓O旋轉得來,旋轉角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數量關系.
思考2如圖,P是圓O上一個動點,A為定點,連接AP,以AP為斜邊作等腰直角△APQ.考慮:當點P在圓O上運動時,如何作出Q點軌迹?軌迹?
【分析】Q點滿足(1)∠PAQ=45°;(2)AP:AQ=根号2:1,故Q點軌迹是個圓.
連接AO,構造∠OAM=45°且AO:AM=根号2:1.M點即為Q點軌迹圓圓心,此時任意時刻均有△AOP∽△AMQ.即可确定點Q的軌迹圓.
真題戰場
2016餘姚模拟
如圖,點P(3,4),圓P半徑為2,A(2.8,0),B(5.6,0),點M是圓P上的動點,點C是MB的中點,則AC的最小值是_______.
【分析】M點為主動點,C點為從動點,B點為定點.考慮C是BM中點,可知C點軌迹:取BP中點O,以O為圓心,OC為半徑作圓,即為點C軌迹.
當A、C、O三點共線且點C在線段OA上時,AC取到最小值,根據B、P坐标求O,利用兩點間距離公式求得OA,再減去OC即可.
2016武漢中考
如圖,在等腰Rt△ABC中,AC=BC=2倍根号2,點P在以斜邊AB為直徑的半圓上,M為PC的中點,當半圓從點A運動至點B時,點M運動的路徑長為________.
【分析】考慮C、M、P共線及M是CP中點,可确定M點軌迹:
取AB中點O,連接CO取CO中點D,以D為圓心,DM為半徑作圓D分别交AC、BC于E、F兩點,則弧EF即為M點軌迹.
當然,若能理解M點與P點軌迹關系,可直接得到M點的軌迹長為P點軌迹長一半,即可解決問題.
2018南通中考
如圖,正方形ABCD中,AB=2倍根号5,O是BC邊的中點,點E是正方形内一動點,OE=2,連接DE,将線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF,連接AE、CF.求線段OF長的最小值.
【分析】E是主動點,F是從動點,D是定點,E點滿足EO=2,故E點軌迹是以O為圓心,2為半徑的圓.
考慮DE⊥DF且DE=DF,故作DM⊥DO且DM=DO,F點軌迹是以點M為圓心,2為半徑的圓.
直接連接OM,與圓M交點即為F點,此時OF最小.可構造三垂直全等求線段長,再利用勾股定理求得OM,減去MF即可得到OF的最小值.
一條隐藏的瓜豆
△ABC中,AB=4,AC=2,以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE,BD、CE交于點O,則線段AO的最大值為______.
【分析】考慮到AB、AC均為定值,可以固定其中一個,比如固定AB,将AC看成動線段,由此引發正方形BCED的變化,求得線段AO的最大值.
根據AC=2,可得C點軌迹是以點A為圓心,2為半徑的圓.
接下來題目求AO的最大值,所以确定O點軌迹即可,觀察△BOC是等腰直角三角形,銳角頂點C的軌迹是以點A為圓心,2為半徑的圓,所以O點軌迹也是圓,以AB為斜邊構造等腰直角三角形,直角頂點M即為點O軌迹圓圓心.
連接AM并延長與圓M交點即為所求的點O,此時AO最大,根據AB先求AM,再根據BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值,得到MO,相加即得AO.
此題方法也不止這一種,比如可以如下構造旋轉,當A、C、A’共線時,可得AO最大值.
或者直接利用托勒密定理可得最大值.
02動點軌迹之“直線”
引例1
如圖,P是直線BC上一動點,連接AP,取AP中點Q,當點P在BC上運動時,Q點軌迹是?
【分析】先看動圖結果:
當P點軌迹是直線時,Q點軌迹也是一條直線.
可以這樣理解:分别過A、Q向BC作垂線,垂足分别為M、N:
在運動過程中,因為AP=2AQ,所以AM=2QN,即Q點到BC的距離是定值,故Q點軌迹是一條直線.
引例2
如圖,△APQ是等腰直角三角形,∠PAQ=90°且AP=AQ,當點P在直線BC上運動時,求Q點軌迹?
【分析】動圖先看結果:
當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話,P、Q軌迹是同一種圖形.
當确定軌迹是線段的時候,可以任取兩個時刻的Q點的位置,連線即可,比如Q點的起始位置Q1和終點位置Q2,連接即得Q點軌迹線段.
模型總結
【必要條件】
主動點、從動點與定點連線的夾角是定量(∠PAQ是定值);
主動點、從動點到定點的距離之比是定量(AP:AQ是定值).
【結論】
P、Q兩點軌迹所在直線的夾角等于∠PAQ(當∠PAQ≤90°時,∠PAQ等于MN與BC夾角)
P、Q兩點軌迹長度之比等于AP:AQ(由△ABC∽△AMN,可得AP:AQ=BC:MN)
真題戰場
2017姑蘇區二模
如圖,在等邊△ABC中,AB=10,BD=4,BE=2,點P從點E出發沿EA方向運動,連結PD,以PD為邊,在PD的右側按如圖所示的方式作等邊△DPF,當點P從點E運動到點A時,點F運動的路徑長是________.
【分析】根據△DPF是等邊三角形,所以可知F點運動路徑長與P點相同,P從E點運動到A點路徑長為8,故此題答案為8.
2013湖州中考
如圖,已知點A是第一象限内橫坐标為2倍根号3的一個定點,AC⊥x軸于點M,交直線y=-x于點N,若點P是線段ON上的一個動點,∠APB=30°,BA⊥PA,則點P在線段ON上運動時,A點不變,B點随之運動.求當點P從點O運動到點N時,點B運動的路徑長是________.
【分析】根據∠PAB=90°,∠APB=30°可得:AP:AB=根号3:1,故B點軌迹也是線段,且P點軌迹路徑長與B點軌迹路徑長之比也為根号3:1,P點軌迹長ON為2倍根号6,故B點軌迹長為2倍根号2.
坐标系中的最值
如圖,在平面直角坐标系中,A(-3,0),點B是y軸正半軸上一動點,以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP,點B在y軸上運動時,求OP的最小值.
【分析】求OP最小值需先作出P點軌迹,根據△ABP是等邊三角形且B點在直線上運動,故可知P點軌迹也是直線.
取兩特殊時刻:(1)當點B與點O重合時,作出P點位置P1;(2)當點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時,作出P點位置P2.連接P1P2,即為P點軌迹.
根據∠ABP=60°可知:P1P2與y軸夾角為60°,作OP⊥P1P2,所得OP長度即為最小值,OP2=OA=3,所以OP=3/2.
2019宿遷中考
如圖,正方形ABCD的邊長為4,E為BC上一點,且BE=1,F為AB邊上的一個動點,連接EF,以EF為邊向右側作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為_______.
【分析】同樣是作等邊三角形,區别于上一題求動點路徑長,本題是求CG最小值,可以将F點看成是由點B向點A運動,由此作出G點軌迹.
考慮到F點軌迹是線段,故G點軌迹也是線段,取起點和終點即可确定線段位置,初始時刻G點在G1位置,最終G點在G2位置(G2不一定在CD邊),G1G2即為G點運動軌迹.
CG最小值即當CG⊥G1G2的時候取到,作CH⊥G1G2于點H,CH即為所求的最小值.
根據模型可知:G1G2與AB夾角為60°,故G1G2⊥EG1.
過點E作EF⊥CH于點F,則HF=G1E=1,CF=1/2CE=3/2,
所以CH=5/2,因此CG的最小值為5/2.
03動點軌迹之“其他圖形”
所謂“瓜豆原理”,就是根據主、從動點與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比,可确定從動點的軌迹,而當主動點軌迹是其他圖形時,從動點軌迹必然也是.
2016樂山中考
如圖,在反比例函數y=-2/x的圖像上有一個動點A,連接AO并延長交圖像的另一支于點B,在第一象限内有一點C,滿足AC=BC,當點A運動時,點C始終在函數y=k/x的圖像上運動,若tan∠CAB=2,則k的值為( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【分析】依舊動圖觀察:
∠AOC=90°且AO:OC=1:2,顯然點C的軌迹也是一條雙曲線,分别作AM、CN垂直x軸,垂足分别為M、N,連接OC,易證△AMO∽△ONC,∴CN=2OM,ON=2AM,∴ON·CN=4AM·OM,故k=4×2=8.
【思考】若将條件“tan∠CAB=2”改為“△ABC是等邊三角形”,k會是多少?
動點軌迹三角形
如圖,A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),點P是△ABC邊上一動點,連接OP,以OP為斜邊在OP的右上方作等腰直角△OPQ,當點P在△ABC邊上運動一周時,點Q的軌迹形成的封閉圖形面積為________.
【分析】根據△OPQ是等腰直角三角形可得:Q點運動軌迹與P點軌迹形狀相同,根據OP:OQ=根号2:1,可得P點軌迹圖形與Q點軌迹圖形相似比為根号2:1,故面積比為2:1,△ABC面積為1/2×3×4=6,故Q點軌迹形成的封閉圖形面積為3.
【小結】根據瓜豆原理,類似這種求從動點軌迹長或者軌迹圖形面積,根據主動點軌迹推導即可,甚至無需作圖.
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