學完了相交線與平行線後，初中幾何推理證明的序幕也就正式拉開了。我們知道平行線的有如下性質：

性質1：兩直線平行，同位角相等。

性質2：兩直線平行，内錯角相等。

性質3：兩直線平行，同旁内角互補。

會背這三條性質定理，是掌握平行線性質的基礎，更重要的是——會用這三條定理進行幾何計算、證明，尤其對于複雜含有分類讨論的平行線性質與判定綜合應用探究問題，敢于挑戰。

例1.将一副三角闆的直角重合放置，如圖1所示，

（1）圖1中∠BEC的度數為________;

（2）三角闆△AOB的位置保持不動，将三角闆△COD繞其直角頂點O順時針方向旋轉：

①當旋轉至圖2所示位置時，恰好OD∥AB，求此時∠AOC的大小；

②若将三角闆△COD繼續繞O旋轉，直至回到圖1位置，在這一過程中，是否會存在△COD其中一邊能與AB平行？如果存在，請你畫出圖形，并直接寫出相應的∠AOC的大小；如果不存在，請說明理由．

【分析】（1）由已知可求出∠CAE＝180°﹣60°＝120°，再根據三角形外角性質求出∠BEC的度數．

（2）①由OD∥AB可得∠BOD＝∠B＝30°，再由∠BOD ∠BOC＝90°和∠AOC ∠BOC＝90°求出∠AOC．

②将三角闆△COD繼續繞O旋轉，OC邊能與AB平行，由平行可得∠COB＝∠B＝30°，從而求出∠AOC．

本題的(1)和(2)的第一小問，同學們都可以比較順利地找到答案，但是最後一問，當三角闆COD旋轉起來，往往會出現漏掉答案的情況，除了認真審題之外，解決此類問題，必須要通過畫圖來協助解題，下面gif動圖是三角闆COD繞點O旋轉一周的情況，同學們可以觀察∠AOC在旋轉過程中位置和大小的變化。

【解答】（1）∠CAE＝180°﹣∠BAO＝180°﹣60°＝120°，

∴∠BEC＝∠C ∠CAE＝45° 120°＝165°，

故答案為：165°．

（2）①∵OD∥AB，

∴∠BOD＝∠B＝30°，

又∠BOD ∠BOC＝90°，∠AOC ∠BOC＝90°，

∴∠AOC＝∠BOD＝30°．

②存在，如圖1，∠AOC＝120°；

如圖2，∠AOC＝165°；

如圖3，∠AOC＝45°；

如圖4，∠AOC＝150°；

如圖5，∠AOC＝60°；

如圖6，∠AOC＝15°．

【解題秘籍】這類題目要注意：首先要回答題目的問題，不能直接寫證明過程；注意充分運用三角闆角度的數量特性，确定動态下圖形構成可能出現三線八角模型，并注意性質和判定是綜合起來進行運用。

例2.如圖1是一個舞台，上下兩邊a、b平行．在A、B兩點處各有一個旋轉燈，其燈光為一條射線，開始表演前，兩燈均指向正右方．開始表演的瞬間，A燈開始順時針旋轉，速度為4°/分鐘，B燈開始逆時針旋轉，速度為5°/分鐘，A燈轉半圈停止，B燈轉一圈停止．

（1）開始表演後t分鐘，兩燈燈光所在直線平行，求t.

（2）當B燈在旋轉過程中某一時刻正好照向A點，A燈燈光與B燈燈光正好垂直，若此時A燈燈光照向直線b上的M點，求∠AMB的度數．

【分析】第一小問，我們應該分兩種情況考慮．（1）由于B燈轉速快，則相同時間，B燈旋轉角度數比A燈旋轉角度數大．根據我們之前的結論"如果兩個角的兩邊分别平行，則兩個角相等或互補"，顯然第一種情況是兩個旋轉角互補．（2）B燈旋轉角度數超過180°，則用360°減去B燈旋轉角的度數與A燈旋轉角度數相等．

第二小問，根據題意，結合作圖，不難發現A燈旋轉角的内錯角是∠ACB，因此，保證B燈旋轉角的度數與A燈旋轉角度數和為90°即可，下面通過GIF動圖（下圖2）幫助你分析整個過程！

【解答】（1）∠EAC＝4t，∠DBF＝5t，

①4t＋5t＝180，t＝20，如圖3，

② 4t＝360－5t，t＝40，如圖4，

（2）5t＋4t＝90， t＝10，∠AMB＝4t＝40°，如圖5，

【解題秘籍】這類題目，首先要将實際問題，轉換為數學問題，利用旋轉可能産生情形添線構造 "三線八角"模型，繼而利用平行線的性質求解問題

牛刀小試:

1.中國最長鐵路隧道西康鐵路秦嶺一線隧道全長十八點四六千米，為目前中國鐵路隧道長度之首，被稱為"神州第一長隧"．為了安全起見在某段隧道兩旁安置了兩座可旋轉探照燈．如圖1所示，燈A發出的光束從AC開始順時針旋轉至AD便立即回轉，燈B發出的光束從BE開始順時針旋轉至BF便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A旋轉的速度是每秒3度，燈B旋轉的速度是每秒2度．已知CD∥EF，且∠BAD＝1/3∠BAC，設燈A旋轉的時間為t（單位：秒）．

（1）求∠BAD的度數；

（2）若燈B發出的光束先旋轉10秒，燈A發出的光束才開始旋轉，在燈B發出的光束到達BF之前，若兩燈發出的光束互相平行，求燈A旋轉的時間t；

（3）如圖2，若兩燈同時轉動，在燈A發出的光束到達AD之前，若兩燈發出的光束交于點M，過點M作∠AMN交BE于點N，且∠AMN＝135°．請探究：∠BAM與∠BMN的數量關系是否發生變化？若不變，請求出其數量關系；若改變，請說明理由．

【解析】本題主要考查了平行線的性質以及角的和差關系的運用，解決問題的關鍵是運用分類思想進行求解，解題時注意：兩直線平行，内錯角相等；兩直線平行，同旁内角互補．

（1）根據∠BAC ∠BAD＝180°，∠BAC：∠BAD＝3：1，即可得到∠BAD的度數為45°；

（2）設A燈轉動t秒，兩燈的光束互相平行，

①當0＜t＜60時，如圖2，

∵CD∥EF，∴∠EBE'＝∠BE'A，

∵BE'∥AC'，∴∠BE'A＝∠CAC'，∴∠EBE'＝∠CAC'，∴3t＝2（10 t），

解得 t＝20；

②當60＜t＜80時，如圖3，

∵CD∥EF，∴∠EBE' ∠BE'D＝180°，

∵AC'∥BE'，∴∠BE'D＝∠C'AD，∴∠EBE' ∠C'AD＝180°

∴2（10 t） （3t﹣180）＝180，解得 t＝68，

綜上所述，當t＝20秒或68秒時，兩燈的光束互相平行；

（3）∠BAM與∠BMN關系不會變化．

理由：如圖4，設燈A射線轉動時間為t秒，

∵∠MAD＝180°﹣3t，∴∠BAM＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，

又∵∠ABM＝135°﹣2t，

∴∠BMA＝180°﹣∠ABM﹣∠BAM＝180°﹣（135°﹣2t）﹣（3t﹣135°）＝180°﹣t，而∠AMN＝135°，

∴∠BMN＝135°﹣∠BMA＝135°﹣（180°﹣t）＝t﹣45°，

∴∠BAM：∠BMN＝3：1，即∠BMN＝1/3∠BAM，

∴∠BAM和∠BMN關系不會變化．

【方法總結】

1、 判定直線平行的第一步是區分角的位置關系，看某一對角是不是同位角、内錯角或同旁内角其中之一；利用3種方法判定平行時，請一定留心，看清所找到的一對角和需要證明的一對平行線是否相關，避免出現"張冠李戴"的情況；無論是同位角、内錯角還是同旁内角，在判定平行時，為避免出錯，都可以先把這一對角畫出來(用不同顔色筆描出來)。

2、"逆推法"，即根據結論逆推條件，如果條件正好滿足，則結論也自然成立，這種方法在幾何證明中非常常見，同學們一定要靈活掌握；在證明直線平行時，需要找判定條件，即角的關系。一般情況下，不會直接給出判定條件，都需要"拐幾道彎"，這個過程中往往會利用到平行線的性質。

3、在找角的關系(同位角、内錯角、同旁内角)時，一定要結合已知條件，才能找到一對合理的角。平行線的判定和性質往往會結合着使用，不要混淆，尤其在做證明題時，依據千萬不要寫反了(比如明明想利用平行線的性質得到同位角相等，依據卻寫成"同位角相等，兩直線平行)。

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