平行四邊形是中考必考内容之一，我們将從知識點總結、常見考法和誤區提醒三個方面進行講解。離中考的腳步越來越近，每天解決一個小問題，那麼每一天都在進步。

1.平行四邊形的概念

兩組對邊分别平行的四邊形叫平行四邊形，滿足一組對邊平行，另外一組對邊不平行的四邊形叫梯形。平行四邊形的基本概念，也是判定四邊形為平行四邊形的一種方法。

2.平行四邊形的性質

平行四邊形的性質可以從邊、角、對角線、對稱性四個方面來進行讨論。

（1）從邊上看，平行四邊形的對邊平行且相等，鄰邊之和的兩倍等于平行四邊形的周長；（2）從角看，平行四邊形的對角相等，鄰角互補；（3）從對角線上看，平行四邊形的對角線互相平分（注意：隻滿足互相平分，不滿足相等、垂直等）；（4）從對稱性看，平行四邊形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形。

3.平行四邊形的判定

平行四邊形的判定從邊、角、對角線三方面看，但是課本中所給的判定定理是從邊和對角線兩方面進行闡述。

（1）從邊上看，首先由其概念可得，兩組對邊分别平行的四邊形是平行四邊形，其次，兩組對邊分别相等的四邊形是平行四邊形，一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（2）從對角線上看，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（3）從角上看，對角相等的四邊形是平行四邊形。

（1）利用平行四邊形的性質，求角度、線段長、周長等

例題1：（2020泉港區一模）如圖，E、F在ABCD的對角線AC上，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=54°，求∠ADE的度數

分析：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，由此可以得到DE=AE=EF=CD，多條線段相等，可設最小的角為x，即設∠EAD=∠ADE=x，根據外角等于不相鄰的内角和，得到∠DEC=∠DCE=2x，由平行四邊形的性質得出∠DCE=∠BCD-∠BCA=54°-x，得出方程，解方程即可。

例題2：（2020河北模拟）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形ADEF均為平行四邊形，點B，C，F，E在同一直線上，AF交CD于O，若BC=10，AO=FO，求CE的長。

分析：根據平行四邊形的性質得出AD=BC=EF，AD∥BE，從而得到∠DAO=∠CFO，再加上對頂角相等，可以得到△AOD≌△FOC，根據全等三角形的性質得到AD=CF，即AD=BC=EF=CF，從而得到線段CE的長度。也可以借助中位線定理解決。

解：∵四邊形ABCD和四邊形ADEF均為平行四邊形，

∴AD=BC，AD=FE，AD∥BE，AF∥DE，

∴AD=BC=FE=10，

∵AF∥DE，AO=FO，

∴CF=FE=10，

∴CE=10 10=20

（2）求線段（邊或對角線）的取值範圍

例題3：（2019秋萊蕪區期末）在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，對角線AC、BD相交于點O，則OA的取值範圍是多少？

分析：由AB=4，BC=6，利用三角形的三邊關系，即可求得2＜AC＜10，根據平行四邊形的對角線互相平分，得到OA的取值範圍，為1＜OA＜5.

（3）利用平行四邊形的性質證明角相等、邊相等和直線平行

例題4：（2020春麗水期中）如圖，已知E，F分别是ABCD的邊CD，AB上的點，且DE=BF．求證：AE∥CF．

分析：由四邊形ABCD為平行四邊形可得：AB=CD，AB∥CD。由已知條件DE=BF，根據等邊減等邊可得AF=CE，由此可證明四邊形AECF為平行四邊形，從而得到AE∥CF。通過此題可知，平行四邊形又為我們證明直線平行增加了一種方法。

證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD

又∵DE=BF，∴AB-BF=CD-DE，即AF=CE

∴四邊形AECF為平行四邊形，∴AE∥CF

例題5：（2020山西模拟）如圖，在ABCD中，點E是BC上的一點，連接DE，在DE上取一點F使得∠AFE=∠ADC．若DE=AD，求證：DF=CE．

分析：根據平行四邊形的性質得到∠C ∠B=180°，∠ADF=∠DEC，根據題意得到∠AFD=∠C，根據全等三角形的判定和性質定理證明即可

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠B=∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C ∠B=180°，∠ADF=∠DEC，

∵∠AFD ∠AFE=180°，∠AFE=∠ADC，

∴∠AFD=∠C，

又∵AD＝DE，∴△AFD≌△DCE（AAS），∴DF=CE．

（4）利用判定定理證明四邊形為平行四邊形

例題6：（2020春鼓樓區校級月考）如圖，在ABCD中，點E、F在BD上，且BE=AB，DF=CD．求證：四邊形AECF是平行四邊形．

分析：根據平行四邊形的性質可得AB=CD，再加上BE=AB，DF=CD，可以得到BE=DF。平行四邊形的對角線互相平分，連接AC交BD于點0，得到OA=OC，OB=OD，等線段減等線段得到OE=OF，根據對角線互相平分的四邊形為平行四邊形可證明到結論。

證明：連接AC交BD于O，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，

∵BE=AB，DF=CD，

∴BE=DF，∴BO-BE=OD-DF，即OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形．

例題7：（2019秋萊蕪區期末）如圖，已知平行四邊形ABCD中，BD是它的一條對角線，過A、C兩點作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别為E、F，延長AE、CF分别交CD、AB于點M、N．求證：四邊形CMAN是平行四邊形

證明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AM∥CN，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CM∥AN

∴四邊形CMAN是平行四邊形

（1）平行四邊形的對角線是互相平分，不相等，也不垂直，也不會平分一組對角；

（2）當滿足一組對邊平行且相等時，可證明四邊形為平行四邊形，當一組對邊平行，另外一組對邊相等，不能證明該四邊形是平行四邊形，該四邊形可能為梯形；

（3）平行四邊形對角相等，鄰角互補，對角不一定互補；

（4）平行四邊形的鄰邊沒有什麼特殊的性質，鄰邊之和的兩倍等于該平行四邊形的周長。

證明平行四邊形的方法較多，因此在證明一個四邊形是平行四邊形時選對方法很重要，同一道題目選擇不同的方法，證明的難易程度、繁瑣程度會相差很大。

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