開普勒第二定律是角動量守恒的結果？中子星的自轉角速度怎麼估算？4月17日12時，《張朝陽的物理課》第四十六期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，帶着網友們複習了上一次直播課所介紹的角動量知識，并借助角動量守恒定律證明了開普勒第二定律，然後回到本次課程的最初目的，即科普中子星是怎麼形成的，最終利用所介紹的角動量知識估算了中子星的旋轉速度。

複習角動量定理 重溫開普勒第二定律

直播開始後，張朝陽首先寫出上次課程推導出來的質點系角動量定理：

這個定理應用于剛體的定軸轉動可以得到非常簡潔的形式。他把牛頓第二定律一并寫下作為比較：

其中第一個式子是剛體定軸轉動的角動量定理在轉軸方向的分量的表達式，其中τ是外力矩，I是剛體的轉動慣量。第二個式子是質點的牛頓第二定律。張朝陽介紹說，這兩個式子形式上非常相似。力矩在轉動裡起到類似力的作用，而轉動慣量就則與質量類似，衡量轉動改變的難易程度，也就是剛體的“轉動慣性”。剛體定軸轉動的情況下，轉動慣量的公式為：

其中r是質量微元dm距離轉軸的距離。此時，角動量的表達式為：

如果外力矩等于0，那麼角動量不随時間改變，這就是角動量守恒定律。對于理想剛體，角動量守恒表現為轉動慣量和角速度的乘積不随時間改變。

（張朝陽通過角動量守恒證明開普勒第二定律）

角動量定理是普遍成立的，因此不僅可以用在剛體的運動上，還可以應用于中心力場的運動中。引力場作為典型的中心力場，角動量定理也能發揮重要作用。在質量為M的星球的引力場中，質量為m的質點受到的引力為：

那麼質點受到的力矩為：

所以，質點的角動量不随時間變化。張朝陽繼而推導質點的角動量表達式，具體地：

其中v是粒子的速度。以質點的軌迹平面為極坐标面、星球所在位置為原點，建立柱坐标系，那麼粒子的速度矢量可以寫為：

其中字母上方加一點表示對時間求一階導數。将上式代入角動量公式後可得：

因此，mr^2dθ/dt不随時間變化。

對這個結果，張朝陽進一步解釋說，考慮質點和星球的連線，dθ是這根線在dt時間内轉過的角度，因此r^2dθ/2是這根線在dt時間内掃過的面積。換言之，這根連線在單位時間内掃過的面積為常數，這就是開普勒第二定律，它可以作為角動量守恒的簡單推論。

恒星的演化與中子星的形成

複習完角動量定理，張朝陽把我們帶回了最初的目的：計算中子星的旋轉速度。對此，我們先來了解一下中子星的形成過程。

測量衆多恒星的溫度和光度，并繪制在一張圖表上，從而反映恒星顔色與星等的分布特征，這有助于分析恒星的演化過程。該圖被稱為赫羅圖（Hertzsprung-Russell diagram）。當恒星處在主序星階段時，會根據自身質量而處于光度-溫度圖上一條特定的曲線附近，形成一個被稱為主序帶的帶狀圖形。

（張朝陽展示的赫羅圖）

恒星的質量越大，其表面溫度越高，光度越大，同時壽命也越短。處于主序階段的恒星都是通過氫核聚變成氦核獲取能量，當恒星的燃料逐漸消耗殆盡時，它會逐步離開主序帶。與太陽質量相當的恒星，在生命末期時，其外層會被推開，變成紅巨星，并進一步形成行星狀星雲，而它的核心最後會變成白矮星。

白矮星是一種靠内部電子氣體的簡并壓抗衡引力收縮的天體，它發出的光接近白色。而大于8倍太陽質量的恒星，生命末期會發生超新星爆發，并将大量的物質抛灑出來。超新星爆發會産生非常極端的物理環境，從而使原子序号排在鐵原子之後的元素被創造出來。

太陽系中的重元素就來自于超新星爆發過程。太陽内部目前隻能制造一些輕核，重核則來自于很久以前在附近發生的超新星爆發。超新星爆發也會留下一個緻密的核心，這個核心的質量超過1.4倍太陽質量，導緻電子簡并壓不足以抗衡引力的壓縮，從而繼續塌縮直到質子和電子反應成為中子，并由中子簡并壓來抵抗引力。處于這個階段的天體就被稱為中子星。如果這個核心的質量更大，使得中子簡并壓也無法抗衡引力，那麼它就會進一步塌縮成為黑洞。

中子星内部原子結構不複存在，隻靠核子緊密地擠壓在一次。這導緻中子星的體積極小，大約在10公裡量級；同時它的質量又很大，大約為2倍太陽質量。于是中子星的密度極高，一小勺中子星物質就有好幾億噸。

恒星一般都存在自轉。即使之前其自轉速度很低，在形成中子星之後，由于體積急劇縮小、轉動慣量也急劇變小，最終中子星的轉速也會非常之高。這就像是花樣滑冰運動員在轉動時把手縮回來，從而提高了自轉速度。

另一方面，中子星表面存在非常強的磁場，由于各種物理效應，中子星會沿磁極發生強烈的輻射，就像一個手電筒那樣。中子星的磁極和旋轉軸一般不重合，于是其輻射方向會不斷地、快速地周期變化。從地球的角度來看，人們會觀測到中子星不斷地發射脈沖。當“手電筒”旋轉指向地球時，會觀測到一個脈沖峰值。這樣的脈沖峰值會因中子星的自轉而不斷重複，這就是中子星作為脈沖星模型的由來。

估算中子星的自轉角速度

接下來開始估算脈沖星的自轉角速度。因為8至15倍太陽質量的恒星最後會形成中子星，張朝陽取典型情況，以恒星質量約為10倍太陽質量進行估算。由于恒星的質量大部分集中在内核，若把内核看成均勻球體，可以估算其核心質量大約是太陽核心的10倍，從而核心半徑大約是太陽核心半徑的兩倍。

在超新星爆發之後，這個恒星内部的1.5倍太陽質量會變成中子星。在這裡，張朝陽作了一個假定：超新星爆發時内部物質的角動量沒有被傳遞出來，于是最終中子星的角動量就等于原來1.5倍太陽質量的内部物質的角動量。為了估算這部分角動量，就需要知道其轉動慣量，所以接下來需要估算這1.5倍太陽質量的物質在恒星階段的體積是多大。

由于這個恒星初始質量為10倍太陽質量，根據以前直播課程對太陽的介紹，可以估算這個恒星的内核大約為5倍太陽質量。而内核裡1.5倍太陽質量的物質會變成中子星，占整個核心質量大約1/3，于是可以估算這部分物質的半徑大約是核心半徑的3的三次方根分之一，也就是大約是核心半徑的0.6(注：3的三次方根分之一約等于0.69，不過由于這裡做的是估算，采用0.6同樣合理)。

太陽核心半徑約為16萬公裡，而前面估算10倍太陽質量的恒星，其核心半徑約是太陽核心半徑的2倍，于是可以估算得到恒星内1.5倍太陽質量物質對應的半徑約為0.6×2×16萬公裡，約等于20萬公裡。

有了質量也有了半徑，就可以估算它的轉動慣量了。不過，張朝陽還通過另一種方法估算了這1.5倍太陽質量的核心物質的平均密度。因為恒星的能量來源主要是氫的聚變，這就決定了不同質量的恒星内核溫度大緻相同，而在恒星形成之初，氫核主要通過引力加速達到能産生核聚變的溫度，于是：

其中T是核心溫度，k是玻爾茲曼常數，m_p是質子質量，Mc和Rc分别是核心質量和半徑，ρ上加一橫表示核心的平均密度。由于不同質量的恒星内核溫度大緻相同，所以核心平均密度與核心半徑的平方成反比。前面估算了10倍太陽質量的恒心的核心半徑大約是太陽的核心半徑的2倍，所以：

其中ρ_sc表示太陽核心的平均密度。由于1.5倍太陽質量的物質處于核心的裡邊，密度必然比平均密度高，所以張朝陽估算它的密度是整個核心平均密度的2倍，也就是60g/cm^3。(注：根據前面估算的半徑，計算得到的密度約為90g/cm^3，比此處估算值大一半。後文将采用60g/cm^3的估算值進行計算。)

接下來估算這1.5倍太陽質量物質的轉動慣量。轉動慣量表達式中的r是柱坐标上的r，不過為了簡化計算，張朝陽将其看成是球坐标下的r，于是：

其中下标mc表示與這1.5倍太陽質量的物質相關的量。

對于中子星，根據目前天體物理的認識，張朝陽估算中子星核心密度約為表面密度的1/4，而且密度從内到外線性變化，用ρ_nc表示中子星中心密度，于是中子星密度分布為：

其中R是中子星半徑。這樣可以估算中子星的轉動慣量為：

那麼根據角動量守恒，可以估算得到中子星的自轉角速度為：

其中n下标表示中子星，s下标代表太陽。張朝陽假設恒星内核的旋轉速度不依賴于質量，因此使用太陽内核的旋轉速度作為中子星形成前的旋轉速度。根據目前天體物理對中子星密度的估值，張朝陽使用5×10^14 g/cm^3作為中子星中心密度，代入數值可以得到中子星旋轉角速度約為太陽内核旋轉角速度的10^9倍。這是一個非常強的放大效應。

接着，張朝陽展示了太陽内部各處的旋轉頻率：

（張朝陽展示的太陽内部各處旋轉頻率）

其中核心的旋轉頻率約為400×10^(-9)Hz，因此可以推算得到中子星的旋轉頻率為400Hz，也就是每秒轉400圈。考慮到中子星存在兩個磁極，也就是兩個發射脈沖的方向，從而中子星每秒脈沖約800下。“中子星的脈沖頻率在毫秒量級”。這些估算結果與目前的天文觀測值比較接近。

（張朝陽估算中子星的旋轉頻率）

據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬号，查看課程中的“知識點”短視頻。此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬号上，閱覽每期物理課程的詳細文章。

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