泰勒公式的推導-tft每日頭條

泰勒公式的推導

生活更新时间:2025-02-11 18:02:51

我們在研究函數時，難免會遇到很多複雜函數，那麼此時我們就可以用泰勒公式對該函數進行展開，将它化為多項式來方便我們探究性質和計算。

我們将形如：

泰勒公式的推導（如何推導函數的泰勒公式）1

的式子叫做函數帶有皮亞諾餘項的n階泰勒公式。

下面，我們來證明這一公式：

在開始證明之前，我們先考慮兩個引理。

引理一：如果在a的附近有n階導數存在，那麼若

就有

證明：我們想要證明是的高階無窮小，那麼我們隻需證明當趨近于0時，和的比值也趨近于0即可。

所以我們考慮極限

因為此時分子分母都趨向于0時符合洛必達法則的條件，所以我們多次使用洛必達進行化簡：

泰勒公式的推導（如何推導函數的泰勒公式）2

所以是的高階無窮小證畢。

引理二：如果兩個函數分别記作，并且滿足

泰勒公式的推導（如何推導函數的泰勒公式）3

其中，那麼就有

證明：我們可以設函數，此時發現滿足引理一的條件，而代入引理一即可證明引理二的結論。

接下來我們利用兩個引理來證明泰勒公式成立：

這裡我們設待展開函數為

我們考慮多項式：

泰勒公式的推導（如何推導函數的泰勒公式）4

我們想要将它和待展開函數滿足引理二中的關系，即：

泰勒公式的推導（如何推導函數的泰勒公式）5

其中

我們對求導可以發現

接着為了構造出引理二中的形式，我們使其中

由此得到

通過這個等式得到，這樣選擇可以使得和滿足引理二中的條件。

那麼此時的可以寫成：

泰勒公式的推導（如何推導函數的泰勒公式）6

那麼由引理二可知：

泰勒公式的推導（如何推導函數的泰勒公式）7

由此我們證明對于函數有皮亞諾餘項的n階泰勒公式成立。

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