條件概率,可以理解為事件A在事件B的發生的前提下,事件A發生的概率。我們來舉一個例子。
一個家庭中有兩個小孩,已知至少一個是女孩,問兩個都是女孩的概率是多少?(假定生男生女是等可能的)
由題意,樣本空間為
S={(兄、弟),(兄、妹),(姐、弟),(姐、妹)}
A={(兄、妹),(姐、弟),(姐、妹)}
B={(姐、妹)}
由于事件A已經發生,所以這時試驗的所有可能結果隻有三種,而事件B包含的基本事件隻占其中的一種,所以有
P(B|A)表示A發生的條件下B發生的條件概率,要是沒有事件A發生的條件,那麼此時事件B發生的概率為p(B)=1/4,所以這裡p(B)≠p(B|A)
我們可以理解為條件事件改變了樣本空間,它讓樣本空間變小了。使它由原來樣本空間S縮減為原來的新的樣本空間A
條件概率示意圖
條件概率有如下性質:
而且條件概率擁有概率的所有性質:
除了條件概率的性質之外,還有條件概率的乘法公式
我們來看一個對條件概率乘法公式和條件概率性質使用的例子:
一盒中有5個紅球,4個白球,采用不放回抽樣,每次取一個,取3次.
(1)求前兩次中至少有一次取到紅球的概率;
(2)已知前兩次中至少有一次取到紅球,求前兩次中恰有一次取到紅球的概率;
(3)求第1,2次取到紅球第3次取到白球的概率.
解答這種題第一步是寫出事件,然後組合這些事件構成答案的要求的事件,然後外面套一個p開始求這個概率
考試例子某人參加某種技能考核,已知第1次參加能通過的概率為60%;若第1次未通過,經過努力,第2次能通過的概率為70%;若前二次未通過,則第3次能通過的概率為80%。求此人最多3次能通過考核的概率。
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