什麼樣的圖形叫三角形？不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接組成的圖形叫做三角形。是否具有任意長度的三條線段都能首尾順次連接？是否首尾順次連接的三條線段都能組成三角形？

通過探究可以發現，在△ABC中，三角形任意兩邊之和大于第三邊，即a b＞c，a c＞b，b c＞a，由此我們可以判斷任意的三條線段是否能圍成一個三角形。

例題1：三根木條的長度如圖，能組成三角形的是（ ）

解：A、2 2=4＜5，不能構成三角形，故此選項錯誤；B、2 2=4，不能構成三角形，故此選項錯誤；C、2 3=5，不能構成三角形，故此選項錯誤；D、2 2=5＞4，能構成三角形，故此選項正确；故選：D．

此題主要考查了三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，隻要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形。

例題2：現有a、b、c、d四根木條，長度分别為a=3cm，b=5cm，c=6cm，d=8cm，從中取出三根木條組成三角形，一共能組成多少個三角形？

解：一共能組成三個三角形，它們的邊長分别是3cm，5cm，6cm；3cm，6cm，8cm和5cm，6cm，8cm．

在△ABC中，三角形任意兩邊之差小于第三邊，即a-b＜c，a-c＜b，b-c＜a等等，由此可以求第三邊的取值範圍，以及進行化簡求值。

例題3：若△ABC的三邊長分别為m-2，2m 1，8．

（1）求m的取值範圍；（2）若△ABC的三邊均為整數，求△ABC的周長．

解：（1）根據三角形的三邊關系，2m 1−(m−2)＜8，2m 1 m−2＞8，

解得：3＜m＜5；

（2）因為△ABC的三邊均為整數，且3＜m＜5，所以m=4．

所以，△ABC 的周長為：（m-2） （2m 1） 8=3m 7=3×4 7=19．

例題4：先化簡，再求值．已知a，b，c為△ABC的三邊長，化簡|a-b-c|-|b-c a|，當a=2、c=3時，求出代數式的值．

解：∵a，b，c為△ABC的三邊長，

∴a-b-c＜0，b-c a＞0．

∴|a-b-c|-|b-c a|=-a b c-（b-c a）=-2a 2c．

當a=2、c=3時，-2a 2c=-2×2 2×3=2．

​例題5：若三邊均不相等的三角形三邊a、b、c滿足a-b＞b-c（a為最長邊，c為最短邊），則稱它為“不均衡三角形”．例如，一個三角形三邊分别為7，5，4，因為7-5＞5-4，所以這個三角形為“不均衡三角形”．已知“不均衡三角形”三邊分别為2x 2，16，2x-6（x為整數），求x的值．

​解：①16-（2x 2）＞2x 2-（2x-6），解得x＜3，∵2x-6＞0，解得x＞3，

故不合題意舍去；

②2x 2＞16＞2x-6，解得7＜x＜11，2x 2-16＞16-（2x-6），解得x＞9，

∴9＜x＜11，∵x為整數，∴x=10，經檢驗，當x=10時，22，16，14可構成三角形；

③2x-6＞16，解得x＞11，2x 2-（2x-6）＞2x-6-16，解得x＜15，

∴11＜x＜15，∵x為整數，∴x=12或13或14，都可以構成三角形．

綜上所述，x的整數值為10或12或13或14．

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