存在性問題往往背景複雜，涉及知識廣泛，是中考數學中的一類常見的綜合性問題．這類問題不僅僅考查學生應用知識的能力，還對學生在不同情境中提取信息、作圖、分析、設計方案的能力有較高的要求。對于點的存在性問題經常在函數型和幾何型壓軸題中出現，探讨是否存在點，使其滿足某種特殊關系或圖形狀态的問題．常以函數為背景，結合動點、動線，考查分類、畫圖、建等式計算。

A.問題探究：

1. 已知線段AB=2,借助三角闆畫△ABP ,使∠APB=90°,并思考下列問題：

(1)你能畫出滿足條件的三角形嗎？

(2)這樣的三角形能畫多少個？

(3)滿足條件的P點有什麼特點？

(4)你能畫出所有滿足條件的P點嗎？

簡析：因為直徑所對的圓周角等于90°，因此這樣的點P不僅能找到，而且可以畫出無數個，它們都集中在以AB為直徑的圓上（A、B兩點除外）。其實看起來較為複雜的問題，一個"圓"就可以圓滿解決。動态演繹如下：

2.已知線段AB=2,借助三角闆畫△ABP , 使 ∠APB=60°, 并思考下列問題：

(1)你能畫出滿足條件的三角形嗎？

(2) 這樣的三角形能畫多少個？

(3) 滿足條件的P點有什麼特點？

類比後，我們利用"圓"也可以解決這個的問題。因為同弧所對的圓周角相等，所以滿足條件的點P集中在"以AB為弦，其所對的圓周角等于60°的兩段弧上"。動态演繹如下：

B.建立模型：

通過以上兩個例子，我們可以得到這樣的知識點： 定邊、"定角"圓上找。

具體來說： 當邊長一定，其所對角度也一定時，該角頂點在兩段弧上。動态演繹如下：

C.典型問題舉例

類型1 确定存在點可能情形，求解涉及特殊角的有關量

例1．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4√3，點E是BC的中點，點F在AB上，FB＝2，P是矩形上一動點．若點P從點F出發，沿F→A→D→C的路線運動，當∠FPE＝30°時，FP的長為_____

【分析】如圖，連接DF，AE，DE，取DF的中點O，連接OA、OE．以O為圓心畫⊙O交CD于P₃．隻要證明∠EP₁F＝∠FP₂F＝∠FP₃E＝30°，即可推出FP₁＝4，FP₂＝8，FP₃＝4√3解決問題．

【解答】如圖，連接DF，AE，DE，取DF的中點O，連接OA、OE．以O為圓心畫⊙O交CD于P₃．

∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，

∵BF＝2，BE＝2√3，AF＝4，AD＝4√3，

∴tan∠FEB＝tan∠ADF＝√3/3，∴∠ADF＝∠FEB＝30°，

易知EF＝OF＝OD＝4，∴△OEF是等邊三角形，

∴∠EP₁F＝∠FP₂F＝∠FP₃E＝30°，∴FP₁＝4，FP₂＝8，FP₂＝4√3，

故答案為4或8或4√3．

【點評】本題考查矩形的性質、銳角三角函數、圓的有關知識、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．

例2．問題探究

（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果BC邊上存在點P，使△APD為等腰三角形，那麼請畫出滿足條件的一個等腰三角形△APD，并求出此時BP的長；

（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC邊上的高，E、F分别為邊AB、AC的中點，當AD＝6時，BC邊上存在一點Q，使∠EQF＝90°，求此時BQ的長；

問題解決

（3）有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛人員想在線段CD上選一點M安裝監控裝置，用來監視邊AB，現隻要使∠AMB大約為60°，就可以讓監控裝置的效果達到最佳，已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270m，AE＝400m，ED＝285m，CD＝340m，問在線段CD上是否存在點M，使∠AMB＝60°？若存在，請求出符合條件的DM的長，若不存在，請說明理由．

【分析】（1）由于△PAD是等腰三角形，底邊不定，需三種情況讨論，運用三角形全等、矩形的性質、勾股定理等知識即可解決問題．

（2）以EF為直徑作⊙O，易證⊙O與BC相切，從而得到符合條件的點Q唯一，然後通過添加輔助線，借助于正方形、特殊角的三角函數值等知識即可求出BQ長．

（3）要滿足∠AMB＝60°，可構造以AB為邊的等邊三角形的外接圓，該圓與線段CD的交點就是滿足條件的點，然後借助于等邊三角形的性質、特殊角的三角函數值等知識，就可算出符合條件的DM長．

【解答】（1）①作AD的垂直平分線交BC于點P，如圖①，則PA＝PD．

∴△PAD是等腰三角形．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°．

∵PA＝PD，AB＝DC，

∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．∴BP＝CP．

∵BC＝4，∴BP＝CP＝2．

②以點D為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點P′，如圖①，

則DA＝DP′．∴△P′AD是等腰三角形．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝DC，∠C＝90°．

∵AB＝3，BC＝4，∴DC＝3，DP′＝4．

∴由勾股定理可求得CP′＝√7．∴BP′＝4﹣√7．

③點A為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點P″，如圖①，則AD＝AP″．

∴△P″AD是等腰三角形．同理可得：BP″＝√7．

綜上所述：在等腰三角形△ADP中，若PA＝PD，則BP＝2；

若DP＝DA，則BP＝4﹣√7；若AP＝AD，則BP＝√7．

（2）∵E、F分别為邊AB、AC的中點，∴EF∥BC，EF＝1/2BC．

∵BC＝12，∴EF＝6．

以EF為直徑作⊙O，過點O作OQ⊥BC，垂足為Q，連接EQ、FQ，如圖②．∵AD⊥BC，AD＝6，∴EF與BC之間的距離為3．

∴OQ＝3∴OQ＝OE＝3．∴⊙O與BC相切，切點為Q．

∵EF為⊙O的直徑，∴∠EQF＝90°．

過點E作EG⊥BC，垂足為G，如圖②．

∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ．

∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ＝90°，OE＝OQ，∴四邊形OEGQ是正方形．

∴GQ＝EO＝3，EG＝OQ＝3．

∵∠B＝60°，∠EGB＝90°，EG＝3，

∴BG＝√3．∴BQ＝GQ BG＝3 √3．∴當∠EQF＝90°時，BQ的長為3 √3．

（3）在線段CD上存在點M，使∠AMB＝60°．

理由如下：

以AB為邊，在AB的右側作等邊三角形ABG，作GP⊥AB，垂足為P，作AK⊥BG，垂足為K．設GP與AK交于點O，以點O為圓心，OA為半徑作⊙O，

過點O作OH⊥CD，垂足為H，如圖③．則⊙O是△ABG的外接圓，

∵△ABG是等邊三角形，GP⊥AB，∴AP＝PB＝1/2AB．

∵AB＝270，∴AP＝135．

∵ED＝285，∴OH＝285﹣135＝150．

∵△ABG是等邊三角形，AK⊥BG，∴∠BAK＝∠GAK＝30°．

∴OP＝AP•tan30°＝135×√3/3＝45√3．∴OA＝2OP＝90√3．

∴OH＜OA．∴⊙O與CD相交，設交點為M，連接MA、MB，如圖③．

∴∠AMB＝∠AGB＝60°，OM＝OA＝90√3．

∵OH⊥CD，OH＝150，OM＝90√3，

∴由勾股定理可求得HM＝30√2．

∵AE＝400，OP＝45√3，∴DH＝400﹣45√3．

若點M在點H的左邊，則DM＝DH HM＝400﹣45√3 30√2．

∵400﹣45√3 30√2＞340，∴DM＞CD．∴點M不在線段CD上，應舍去．

若點M在點H的右邊，則DM＝DH﹣HM＝400﹣45√3﹣30√2．

∵400﹣45√3﹣30√2＜340，∴DM＜CD．∴點M在線段CD上．

綜上所述：在線段CD上存在唯一的點M，使∠AMB＝60°，

此時DM的長為（400﹣45√3﹣30√2）米．

【點評】本題考查了垂直平分線的性質、矩形的性質、等邊三角形的性質、正方形的判定與性質、直線與圓的位置關系、圓周角定理、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質、勾股定理、特殊角的三角函數值等知識，考查了操作、探究等能力，綜合性非常強．而構造等邊三角形及其外接圓是解決本題的關鍵．

類型2 确定存在點可能情形，求解涉及特殊角的最值量

例3．【操作體驗】

如圖①，已知線段AB和直線l，用直尺和圓規在l上作出所有的點P，使得∠APB＝30°，如圖②，小明的作圖方法如下：

第一步：分别以點A，B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在AB上方交于點O；

第二步：連接OA，OB；

第三步：以O為圓心，OA長為半徑作⊙O，交l于P1，P2；

所以圖中P1，P2即為所求的點．

（1）在圖②中，連接P₁A，P₁B，說明∠AP₁B＝30°；

【方法遷移】

（2）如圖③，用直尺和圓規在矩形ABCD内作出所有的點P，使得∠BPC＝45°，（不寫做法，保留作圖痕迹）．

【深入探究】

（3）已知矩形ABCD，BC＝2．AB＝m，P為AD邊上的點，若滿足∠BPC＝45°的點P恰有兩個，則m的取值範圍為______ ．

（4）已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝2，P為矩形ABCD内一點，且∠BPC＝135°，若點P繞點A逆時針旋轉90°到點Q，則PQ的最小值為_______ ．

【分析】（1）先根據等邊三角形得：∠AOB＝60°，則根據圓周角定理可得：∠AP1B＝30°；

（2）先作等腰直角三角形BEC、BFC，再作△EBC的外接圓，可得圓心角∠BOC＝90°，則弧BC所對的圓周角都是45°；

（3）先确定⊙O，根據同弧所對的圓周角相等可得AD在四邊形GEFH内部時符合條件；

（4）先确定⊙O，根據圓周角定理正确畫出∠BPC＝135°，利用勾股定理求OF的長，知道A、P、O在同一直線上時，AP最小，則PQ的值最小，求AE的長，即是AP的長，可得PQ的最小值．

【解答】（1）∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，

由圖②得：∠AP1B＝1/2∠AOB＝30°；

（2）如圖③，①以B、C為圓心，以BC為半徑作圓，交AB、DC于E、F，

②作BC的中垂線，連接EC，交于O，

③以O為圓心，OE為半徑作圓，

則上所有的點（不包括E、F兩點）即為所求；

（3）如圖④，同理作⊙O，

∵BE＝BC＝2，∴CE＝2√2，∴⊙O的半徑為√2，即OE＝OG＝√2，

∵OG⊥EF，∴EH＝1，∴OH＝1，∴GH＝√2﹣1，∴BE≤AD＜MN，

∴2≤m＜2 √2﹣1，即2≤m＜√2 1，

故答案為：2≤m＜√2 1；

（4）如圖⑤，構建⊙O，使∠COB＝90°，在優弧BC上取一點H，則∠CHB＝45°∴∠CPB＝135°，由旋轉得：△APQ是等腰直角三角形，∴PQ＝√2AP，

∴PQ取最小值時，就是AP取最小值，

當P與E重合時，即A、P、O在同一直線上時，AP最小，則PQ的值最小，

在Rt△AFO中，AF＝1，OF＝3 1＝4，

∴由勾股定理可求得AO＝√17，∴AE＝√17﹣√2＝AP，

∴PQ＝√2AP＝√2（√17﹣√2）＝√34﹣2．故答案為：√34﹣2．

【點評】本題是圓的綜合題，也是閱讀材料問題，運用類比的思想依次解決問題，本題熟練掌握圓周角定理是關鍵，是一道不錯的幾何壓軸題．

例4.問題提出

（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為CD的中點，則∠AEB_____∠ACB（填"＞""＜""＝"）；

問題探究

（2）如圖②，在正方形ABCD中，P為CD邊上的一個動點，當點P位于何處時，∠APB最大？并說明理由；

問題解決

（3）如圖③，在一幢大樓AD上裝有一塊矩形廣告牌，其側面上、下邊沿相距6米（即AB＝6米），下邊沿到地面的距離BD＝11.6米．如果小剛的睛睛距離地面的高度EF為1.6米，他從遠處正對廣告牌走近時，在P處看廣告效果最好（視角最大），請你在圖③中找到點P的位置，并計算此時小剛與大樓AD之間的距離．

【分析】（1）過點E作EF⊥AB于點F，由矩形的性質和等腰三角形的判定得到：△AEF是等腰直角三角形，易證∠AEB＝90°，而∠ACB＜90°，由此可以比較∠AEB與∠ACB的大小．

（2）當點P位于CD的中點時，利用外角性質解答即可；

（3）過點E作CE∥DF交AD于點C，作線段AB的垂直平分線，垂足為點Q，并在垂直平分線上取點O，使OA＝CQ，根據線段之間的關系解答即可．

【解答】（1）∠AEB＞∠ACB，理由如下：

如圖1，過點E作EF⊥AB于點F，

∵在矩形ABCD中，AB＝2AD，E為CD中點，∴四邊形ADEF是正方形，

∴∠AEF＝45°，同理，∠BEF＝45°，∴∠AEB＝90°．

而在直角△ABC中，∠ABC＝90°，∴∠ACB＜90°，∴∠AEB＞∠ACB．

故答案為：＞；

（2）當點P位于CD的中點時，∠APB最大，理由如下：

假設P為CD的中點，如圖2，作△APB的外接圓⊙O，則此時CD切⊙O于點P，

在CD上取任意異于P點的點E，連接AE，與⊙O交于點F，連接BE，BF，

∵∠AFB是△EFB的外角，∴∠AFB＞∠AEB，

∵∠AFB＝∠APB，∴∠APB＞∠AEB，故點P位于CD的中點時，∠APB最大：

（3）如圖3，過點E作CE∥DF交AD于點C，作線段AB的垂直平分線，垂足為點Q，并在垂直平分線上取點O，使OA＝CQ，

以點O為圓心，OA長為半徑作圓，則⊙O切CE于點G，連接OG，并延長交DF于點P，此時點P即為小剛所站的位置.

【點評】此題考查四邊形綜合題，關鍵是根據正方形的性質和三角形外角的性質解答．

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