摘要：矩陣分解方法有多種，本文首先對矩陣的分解方法做了簡單的介紹，這些分解在數值代數和最優化問題的解決中都有着十分重要的角色以及在其它領域方面也起着必不可少的作用。人臉識别是指采用機器對人臉圖像進行分析 ,進而提取有效的識别信息從而達到身份辨認的目的 。近年來因其在安全 、認證 、人機交互 、視頻電話等方面的廣泛應用前景而越來越成為計算機模式識别領域的熱點。本文在分析矩陣分解的原理後詳細針對其在人臉識别中的應用做了一些初步認識的總結。

矩陣是數學中最重要的基本概念之一，是代數學的一個主要研究對象，也是數學研究及應用的一個重要工具。在近代數學、工程技術、信息處理、經濟理論管理科學中，也大量涉及到矩陣理論的知識，矩陣分解是指根據一定的原理用某種算法将一個矩陣分解成若幹個矩陣的乘積或者一些矩陣之和。這些分解式的特殊形式，一是能明顯地反映出原矩陣的某些特征；二是分解的方法與過程提供了某些有效的數值計算方法和理論分析依據。人臉識别是指采用機器對人臉圖像進行分析 ,進而提取有效的識别信息從而達到身份辨認的目的 。雖然人類能輕松地識别出人臉,但人臉的自動機器識别卻是一個難度極大的課題,它涉及到圖像處理、模式識别、計算機視覺和神經網絡等學科,也和對人腦的認識程度緊密相關。現在矩陣分解在人臉識别中應用很廣泛，有不同的算法來實現，本文将對現有的算法做總結和比較。

1 矩陣的分解方法

矩陣分解 (decomposition, factorization)是将矩陣拆解為數個矩陣的乘積，可分為三角分解、滿秩分解、QR分解、Jordan分解和SVD（奇異值）分解等，常見的有三種：1)三角分解法 (Triangular Factorization)，2)QR 分解法 (QR Factorization)，3)奇異值分解法 (Singular Value Decomposition)。

1.1 矩陣的三角（LU）分解

LU分解，設A=(

1.2 矩陣的QR分解

矩陣的QR分解（正交三角分解）在解決最小二乘問題、特征值計算、廣義逆矩陣的計算方面，都是十分重要的。以下為矩陣的QR分解：設A是n階可逆實矩陣，則A可惟一分解為

A=QR

其中，Q為正交矩陣，R是主對角元素都是正數的上三角矩陣。

1.3 矩陣的滿秩分解

矩陣的滿秩分解是将非零矩陣分解為列滿秩和行滿秩矩陣的乘積。設A

(r>0)如果存在矩陣F

和G

，使得： A=FG

則稱其為矩陣A的滿秩分解。

1.4 矩陣的奇異值分解

奇異值分解在某些方面與對稱矩陣或Hermite矩陣基于特征向量的對角化類似。然而這兩種矩陣分解盡管有其相關性，但還是有明顯的不同。對稱陣特征向量分解的基礎是譜分析，而奇異值分解則是譜分析理論在任意矩陣上的推廣。奇異值分解(SVD)是另一種正交矩陣分解法；SVD是最可靠的分解法，但是它比QR分解法要花上近十倍的計算時間。[U,S,V]=svd(A)，其中U和V代表二個相互正交矩陣，而S代表一對角矩陣。和QR分解法相同者，原矩陣A不必為正方矩陣。使用SVD分解法的用途是解最小平方誤差法和數據壓縮。矩陣的奇異值在最優化問題、特針織問題、最小二乘方向題、廣義逆矩陣問題及統計學等方面都有重要的作用。

設A

則存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，使得

其中E=diag(

,而

為A的奇異值分解。

2 矩陣分解在人臉識别中的應用

2.1 矩陣分解應用于人臉識别的發展曆史

人臉識别的研究可以追溯到 20 世紀 60 年代 ,近 20 年來得到了迅速發展 ,湧現出了很多新的方法。這些方法的有效性很大程度上取決于它們所提取的人臉特征。目前可利用人臉特征可分為四類:視覺特征 ,統計特征 ,變換系數特征和代數特征等。其中 ,代數特征被認為是人臉的本質特征 ,表征了人臉圖像的内在特性。目前典型的代數特征主要包括奇異值特征和本征臉( Eigenfaces)特征等。本征臉( Eigenfaces)技術比較成熟 ,但其計算較為複雜 ,因此國内關于代數特征的研究主要集中于奇異值特征上Hong在文獻中首先提出了經典的基于奇異值特征的人臉識别方法 ,把人臉圖像視為一個矩陣 ,進行奇異值分解從而提取其奇異值特征 ,并投影到 Foley2Sammon 最佳鑒别平面進行識别 ,但在實驗中誤識率為 42. 67 % ,Hong 認為是小樣本對統計方法的影響。随後許多人提出了消除小樣本統計方法的影響的方法，但是這些方法均采用人臉的奇異值特征取代原始的人臉圖像 。

然而最近的研究表明 ,這是遠遠不夠的，後來的文獻中有人發現人臉的奇異值特征隻包含了少數有用信息 ,更多的信息則包含在由兩個正交矩陣組成的特征矩陣中 ,由此提出了在識别時采用将待識别的人臉向每個已知人臉的特征矩陣投影 ,取投影後得到的系數矢量作為特征同已知人臉的奇異值特征進行比較識别。該方法在 ORL 人臉庫上獲得了 92.50 %的識别率。值得注意的是 ,投影後得到的系數矩陣一般為非對角矩陣 ,且非對角線上的系數包含了許多關鍵的識别信息。

2.2 QR分解在人臉識别中的應用

針對維數壓縮中的鑒别信息提取，對一種已有的解決小樣本問題的直接線性鑒别分析方法(direct linear discriminate analysis。DIDA)，利用矩陣的QR分解實現數據的預處理，并且在低維的空間内實現了特征提取，實現算法的實時處理。最後，在ORI 人臉數據庫上的實驗結果驗證方法的有效性。

維數壓縮很重要的一個目的是為了實現樣本分類，利用Fisher鑒别準則能在維數壓縮過程之中融入樣本的鑒别信息，但是小樣本問題是在利用Fisher鑒别準則時經常會遇到的問題，直接線性鑒别分析方法是解決此類問題的一個有效鑒别維數壓縮方法。在直接線性鑒别分析方法中引入矩陣QR分解的思想，為高維、小樣本的有效鑒别信息提取提供了理論框架。QR分解的引入，使得無需處理一個高維的原始樣本矩陣。通過分析矩陣的QR分解過程，可以在一個相對低維的空間中實現目标函數的優化．在第一步實現矩陣的目标函數優化之後，可以在一個較小的空間中實現特征提取過程．此時在新的空間之中，最佳鑒别矢量的計算隻需在一個最大為C l(C為樣本類别數)維空間中計算，有效降低了計算複雜度和對硬件存儲性能的要求。

2.3 奇異值分解在人臉識别中的應用

所有人臉識别方法的有效性都依賴于兩方面：特征提取和特征匹配．特征提取，即尋找有效的特征，是解決識别問題的關鍵所在．用于識别的圖像特征有多種，包括視覺特征、統計特征、變換系數特征以及代數特征等．其中，代數特征是由圖像本身的灰度分布所确定的，它描述了圖像的内在信息，而這種内在信息對增強圖像的識别能力是非常重要的．奇異值就是一種很有效的代數特征，所以奇異值分解在數據壓縮、信号處理和模式分析等許多方面都獲得廣泛應用．在某種程度上，奇異值特征同時擁有代數與幾何兩方面的不變性。

由于矩陣的奇異值分解可以看作，把一個秩為k的矩陣分解成一組秩為1的矩陣的加權和，則這樣一幅圖像就可以表示成如下形式：

其中

盡管對于任何給定的實矩陣A，在 ，

對于人臉的識别，僅僅利用奇異值是遠遠不夠的，還要充分利用攜帶重要信息的正交矩陣。根據SVD定理，這些正交矩陣的列，正好是奇異值對應于AAT和ATA的特征向量。由于每一幅圖像都有可能受到光照、姿勢、表情等噪聲的影響，所以對識别會造成很大幹擾。而原始數據矩陣的所有奇異值和特征向量中包含了該數據矩陣的全部信息(也包含了很多幹擾信息)，同時對于那些有用的信息，每個奇異值和特征向量所包含的能量也是不同的，較大的奇異值及其對應的特征向量包含了較多的能量．本文通過保留SVD中前面部分較大的奇異值及其對應的特征向量，以剔除掉圖像中由于光照、表隋、姿勢等噪聲影響所對應的高頻信息，來重構圖像，并以之作為一類人的一個模闆圖像來進行識别。也就是說，首先對奇異值從大到小，進行排列，然

後取前m(m<k)個較大的奇異值

重構得到的圖像A&rsquo; 相當于将原圖像A模糊化，從而提取出這一類人有别于其他類人的特征并用于識别。

使用人臉數字圖像奇異值分解中，前面部分較大的奇異值及其對應的特征向量來重構圖像，以剔除原圖像中由于光照、表情、姿勢等噪聲影響對應的高頻信息，并将重構圖像作為模闆進行識别．實驗結果表明：一方面，保留奇異值及其對應的特征向量數目越多，對應的識别率越高．随着保留奇異值及其特征向量數目的增加，其對識别的貢獻度逐漸降低．另一方面，訓練樣本的增加，一般可以提高識别率，在訓練樣本較少時，作用最為明顯．但是訓練樣本過多，有可能會降低識别率。

在使用較少的奇異值和訓練樣本的情況下，仍然取得了相當高的識别率，高于PCA方法。因而，不僅降低了工作量，而且提高了識别率，可謂一舉兩得．值得提出的是，當僅保留第1個或第2個奇異值及其對應特征向量來進行識别時，單幅圖像的識别率就已經達到6O％以上，這是其他方法所無法比拟的。

當然，對于奇異值、特征向量在識别中分别所起的具體作用，還有待進一步研究。

2.3 非負矩陣分解及其在人臉識别中的應用

常用的傳統矩陣分解方法有：主成分分析(PCA)、獨立成分分析(ICA)、矢量量化(VQ)、奇異值分解(SVD)等，其共同點是允許分解後結果出現負值，從計算角度看這是正确的，但就應用角度看負值是沒有實際意義的。

NMF最成功的一類應用就是用于圖像處理領域．圖像本身包含大量數據，并在計算機内以矩陣形式存放，而關于圖像的識别與處理也均以矩陣形式進行，這就使得NMF方法能夠很好的與圖像處理相結合，目前它已成為此領域中數據降維和特征提取的一種有效方法。

Lee和Seung首次提出NMF理論時，便将其用于人臉識别．Gui．D等提出了基于NMF的人臉識别方法，實驗證明，NMF用于人臉識别方面有利于提高識别率。但是在處理大規模圖像信息時，NMF也存在許多問題，如丢失一些結構信息、加大計算量等，為此許多學者對其進行了不同方面的改進。

高宏娟等将圖像矩陣取代傳統圖像向量表示，提出了一種(2D)&lsquo;NMF方法，用來提取二維圖像的基本特征，同時還采取了特征正交化和圖像變形等措施改善了算法性能，實驗驗證此法用于人臉識别時精度和速度都得到了提高。

宋星光等提出将局部NMF分解(LNMF)用于提取人臉子空間特征，将人臉圖像在特征空間上投影，将得到的投影系數作為人臉識别的特征向量，以進行人臉識别．該方法在一定程度上提高了識别塞。

楊軒提出了一種基于gamma分布的NMF算法(GNMF)，在此算法的基礎上構建特征子空間，采用最小距離分類法對ORL人臉庫中的部分圖像進行識别。實驗表明，以GNMF為基礎的人臉識别方法識别率較高。

歐陽怡彪等提出了基于小波和非負稀疏矩陣分解的人臉識别方法．該方法利用小波變換(wT)、非負稀疏矩陣分解(NMFs)和Fisher線性判别法(FLD)來進行人臉識别．實驗表明，此法對人臉表情、光照變化和部分遮擋不敏感，具有非常好的健壯性和較高的識别率。

此外，許多國外學者也緻力于将NMF用于人臉識别方面的研究，并取得了顯著的成果。

NMF算法作為一種專門對于非負矩陣處理的矩陣分解方法，可以實現對非負矩陣的線性分解．同時保持矩陣的非負特性。其基本思想是對非負數據進行線性非負分解，由于人臉圖像數據的非負性，在人臉識别中采用非負矩陣分解成為了一種避開神經網絡，避開支持向量的一種新興的研究方法。目前NMF算法研究雖取得了一些成果，但尚處于起步階段。一些非常有意義的問題還有待被探讨和解決。

3 結束語

上述内容主要介紹了幾種矩陣的分解原理及其在人臉識别中的基本應用。羅列出矩陣分解的定義、性質以及定理等。矩陣理論是數學的一個重要的分枝，而且已成為現代各科技領域處理大量有線維空間形式與數量關系的強有力的工具。特别是在計算機的廣泛應用，為矩陣論的應用開辟了廣闊的前景。雖然人類能輕松地識别出人臉,但人臉的自動機器識别卻是一個難度極大的課題,它涉及到圖像處理、模式識别、計算機視覺和神經網絡等學科,也和對人腦的認識程度緊密相關。機器在基于矩陣分解原理下對人臉圖像進行分析 ,提取有效的識别信息從而達到身份辨認的目的。我們知道矩陣分解在人臉識别中應用廣泛，本文通過對不同的算法實現人臉識别的方法做了總結和比較，使讀者可以對其有簡單的了解。

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