孿生素數猜想指出：

孿生素數有無窮多個

孿生素數是一個與另一個素數相差2的素數。一組相差2的兩個素數稱為孿生素數對。前幾對孿生素數對是：

(3、5)、(5、7)、(11、13)、(17、19)、(29、31)、(41、43)、(59,61)、(71、73)、(101、103)、(107、109)、(137、139)…

素數對(2,3)不被認為是孿生素數對，因為它們相差是1而不是2。

起源

雖然歐幾裡得公元前300年證明有無窮多個素數，是否有無限多的孿生素數直到1849年才被證明，法國數學家波林那克(1826 - 1863)猜想每一個自然數k，存在無窮多的素數p，使得p 2k也是素數。孿生素數猜想是k=1的特殊情況。

接下來，在1912年的國際數學家大會上，埃德蒙·蘭道(1877-1938)将孿生素數猜想列入了數論中與素數相關的一系列開放問題之中，這些問題現在被稱為蘭道問題。他列出的其他三個問題是：

1. 哥德巴赫猜想：所有大于2的整數都可以寫成兩個素數的和嗎？
2. 勒讓德猜想：連續的完全平方數之間是否總是存在至少一個素數？
3. 有無窮多個素數的形式為n² 1 ？

哈代-李特爾伍德猜想(1923年)

後來，哈代(1877-1947)和李特爾伍德(1885-1977)也提出了一個類似但更嚴格的孿生素數猜想。它被稱為哈代-李特爾伍德猜想，它與素星座（prime constellations）有關。

2013年，張一坦(1955-)證明了對于某個整數n > 70,000,000，存在無窮多對相差n的素數，即存在無窮多對相差小于70,000,000的素數。

在張發表聲明的一年内，在陶泰倫斯(1975-)努力的下将7000萬縮小到到了246。換句話說，我們知道有無窮多個質數的差值小于246。

孿生素數功能

除素數2和3外，每一個素數都可以由函數f(n) = 6n /- 1生成，包括孿生素數。為了說明孿生素數産生的其中一種模式，首先考慮下面的函數|6n 1|的圖形：

• 函數| 6n 1 |（有絕對值符号，不知道能不能顯示出來）

接下來考慮函數

對于不同的m值，該函數生成與函數|6n 1|相交的線性圖。對于第一對孿生素數對(3,5)：

• 函數|6n 1|(紅色)與函數(3/2)n 4(藍色)一起标繪

對于第二個孿生素數對(5,7)：

• 函數| 6n 1 | （紅色）繪制在函數3/2 xn 4旁邊，函數n 6（藍色）

..以及我們上面列表中的所有孿生素數對：

• 函數|6n 1|(紅色)與函數(n/m) 6m，m值在3/2到23之間

每一對孿生素數函數的m值是由每一對素數之間的偶數除以6得到的。因此，對于上面的孿生素數列表：

(3,5)、 (5,7)、 (11,13)、(17,19)、 (29,31)、(41,43)、 (59,61)、(71,73)、 (101, 103)、 (107, 109)、 (137, 139) ...

得到了

4, 6, 12, 18, 30, 42, 60, 72, 102, 108, 138...

用作6的除數，産生

m = 3/2, 1, 2, 3, 5, 7, 10, 12, 17, 19, 23, ...

這兩個孿生素數函數一起構成了一個交叉圖網，将一維數軸轉換成二維平面:

• 前十個雙素函數的幾個交叉點

n值越大，這種模式就越容易識别。從n = 0到n = 14000，前20個孿生素數函數如下圖所示：

• 前20個孿生素數函數

當我們進一步向數軸(y)移動時，我們可以清楚地看到孿生素數對之間存在的巨大差距，例如孿生素數對(659、661)和(809,811)、(881、883)和(1019、1021)之間的差距，等等。

這個模式會無限延伸嗎？也許會，也許不會！

迄今為止(2020年)發現的最大的孿生素數是：

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