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什麼是無理函數

教育更新时间:2025-01-23 07:06:30

無理函數的值域問題時，普遍采用的是“判别式法”，但由于無理函數的定義域一般不為R，所以在解題過程中容易擴大自變量的取值範圍，使用“判别式法”失效。

下面歸納常見的無理函數類型及解法，使得在求無理函數的值域時避開“判别式法”。

一、形如“

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）1

”的函數

例1、求函數

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）2

的值域。

解析：令

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）3

，則

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）4

且

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）5

，則

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）6

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）7

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）8

。當

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）9

，即

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）10

時，

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）11

，當

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）12

時，

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）13

。故函數值域為

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）14

。

總結：此法适用于根号内外自變量的次數相同的無理函數，一般令

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）15

，将原函數轉化為t的二次函數，當然也适用于“

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）16

”的函數。

二、形如“

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）17

”的函數

例2、求函數

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）18

的值域。

解析：由

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）19

。令

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）20

且

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）21

[

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）22

]，則

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）23

。

由

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）24

，得

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）25

。

當

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）26

時，

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）27

；

當

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）28

時，

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）29

。

故函數值域為

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）30

。

總結：這類函數根号内外自變量的次數不同，不适合第一類型的解法。又

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）31

且

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）32

的函數定義域一定為閉區間，如

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）33

，則可作三角代換為

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）34

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）35

且

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）36

，即可化為

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）37

＋k型函數。至于

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）38

且

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）39

及其他類型，同學們可自己分析一下。

三、形如“

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）40

”的函數

例3、求函數

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）41

的值域。

解析：由

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）42

，得

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）43

。

令

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）44

且

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）45

，

則

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）46

。

由

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）47

，得

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）48

，

則

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）49

，故函數的值域為

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）50

。

總結：此法适用于兩根号内自變量都是一次，且

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）51

，此時函數的定義域為閉區間，如，則可作代換

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）52

，且

什麼是無理函數（怎樣求無理函數值域）53

，即可化為型的函數，無理函數類型有多種，這裡不再贅述，有興趣的同學不妨探讨一下。

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