結合工程實際,介紹了橢圓旋轉樓梯的微分幾何數學模型,闡述了樓梯施工放樣的基本方法,即根據已知兩端點的參數,進行橢圓弧長等分。

橢圓弧長積分結果無法用解析解顯式表示 ,利用泰勒級數推導出弧長積分的近似解析解,然後利用 New2 ton叠代法手算各弧長等分點對應的參數 t,從而求出橢圓旋轉樓梯各控制點的坐标。

同時利用 Matlab軟件編程計算進行校驗。比較手算和機算結果,發現該解析解完全滿足工程設計要求。

這種方法還可以用于以其他方式旋轉樓梯的施工放樣。

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.概述

橢圓隻有兩條對稱軸 ,弧上每點曲率均在變化 , 弧長積分無法用簡單的解析函數表達。橢圓等距線并不是橢圓 ,橢圓産生橢圓螺旋線、直紋曲面均給計算帶來很大難度。因此 ,橢圓螺旋樓梯的施工放樣和内力分析是個相當複雜的過程 ,國内外相關研究較少[ 1 - 3 ] 。

20世紀 80年代末國際知名建築大師丹下健三曾在約旦哈西姆宮的 5 個不同使用功能的大廳裡 , 設計了 5種不同的橢圓旋轉樓梯。本文以其中某一會客廳内的橢圓螺旋樓梯為工程背景。

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.橢圓弧長計算公司的近似解析

由上述分析可知橢圓弧長

式中 :ρ = ( a sin t) 2 ( bcost) 2 , 稱為橢圓弧長的導數。橢圓弧長屬于第二類勒讓德 (Legendre) 橢圓積分 , 積分結果無法用解析解顯式表示 [ 5 ] 。

橢圓樓梯施工放樣和力學分析時将進行 t和 l ( t) 之間的互逆運算。求解橢圓弧長 l ( t) 關于參數 t的解析表達式 , 既可以進行手算 , 同時可以與機算結果互相校 核。利用 1 x2 在其收斂半徑 | x | ≤ 1内的二項級數展開式 , 将橢圓弧長積分展開為級數表達式 , 從而求出橢圓弧長的近似解析解 :

由于橢圓弧長為定值 , 故展開式 ( 2) 在其收斂半徑内是收斂的 , 并且可以逐項積分。将偏心率 e = 1 - ( b / a) 2 = 0. 820 54 代入上式 , 并取上式的前十項進行積分 , 作為近似值 l ( t) 10 , 誤差用ε( t) 表示 , 則有 l ( t) = l ( t) 10 ε( t) , 且有

再将 a = 4 200, b = 2 400代入上式 , 得 l ( 2π) 10 = 21 123. 276 8,與利用 Matlab編程算出來的精确值 21 121. 897 33相比 ,誤差為 0. 065‰, 非常接近, 表明 ( 3) 式可以當作橢圓弧長計算公式的近似解析解。

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.橢圓螺旋樓梯的施工放樣

清楚了橢圓旋轉樓梯的幾何性質 ,并用數學語言準确描述之後 , 就可以進行施工放樣。根據建築圖 , 樓梯中心線上踏步的起點 A1、中間休息平台A18和 A19點、以及踏步的終點 A33均已經确定 ,同時已知 A1 ～A18、A19 ～A33之間分别有 17個和 14 個等分的踏步 ,如圖 2所示。

施工放樣實際上變成了求解 A1 ～A18之間的 17個等分點、A19 ～A33之間 的 14個等分點所分别對應的參數 t。已知橢圓弧長反求 t的過程中 , 無論采用精确計算公式 ( 1) 還是近 似計算公式 ( 3) , 都采用 New ton叠代法 , 即給定适當的初始值 t代入公式進行計算 , 直至計算出的弧長 與等分弧長誤差滿足要求 [ 6 ] 。求出中心線各點對應的參數 t, 就可求出中心線上等分點 A i的坐标。

樓梯的踏步屬于直紋曲面的 v線 , 平行于 xoy平面 , 所以内、外邊線的等分點 B i 和 Ci 的 z坐标等同于中心線上等分點 Ai 的 z坐标。v線垂直于中心曲線 t 線 , 所以直線 B i Ai Ci 平行于中心曲線 Ai 點處的主法矢方向。中線曲線 , 即螺旋曲線 , 在水平面上的投影為橢圓 , 任一點 Ai 處的法角大小為 :

β = arctank 法 = arctan a tan t b=bcost arccos ρ( t) = arcsin a sin t ρ( t)

如圖 3, 根據參數 t、法角 β和距離 v0 , 利用橢圓 參數方程 L ∶r( t) 和橢圓等距線方程 LE ∶r( t) 進行直角坐标放樣;或者利用橢圓旋轉角 θ的參數方程 , 進行極坐标放樣。參數 t (亦稱之為橢圓離心角 ) 和旋轉角θ的關系如圖 4所示 ,θ = arctan ( b tan t / a) , 以θ β = arctank 法 = arctan a tan t b 為參數的橢圓方程為 :

這樣橢圓旋轉樓梯的中心線、内外邊上各等分點 Ai 、B i 、Ci 的坐标均已求出 , 即可進行施工放樣。同時根據各點在水平面上的投影 , 可以制作樓梯踏步的面磚等。 Ai 、B i 、Ci ( i = 2 ～ 17) 計算流程見圖 5, 其中的參數等分變量 tn = 4. 543 57, 弧度等分變量 ln = 271. 817 56。

手算和 M atlab編程計算結果十分接近 , 現摘錄手算參數 t的計算結果見表 2。i = 20 ～ 32時計算方法類似。另一半對稱即可。

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.結語

結合實際工程背景 ,依據橢圓螺旋樓梯的微分幾何數學模型 ,進行該樓梯的弧長等分施工放樣。推導出橢圓弧長計算公式的近似解析解 ,并依此叠代手算各弧長等分點相對應的參數 t。同時利用Matlab軟件編程對橢圓弧長的精确公式進行計算。

手算和機算的結果比較 ,表明該近似解析解的精度完全滿足工程設計的要求。

注明：本文摘自網絡整理編輯

參考文獻：

[ 1 ] 孫培生,孫培華. 鋼筋混凝土樓梯設計手冊 [M ].

北京: 中國建築工業出版社, 1999.

[ 2 ] 時旭東,丁大益. 橢圓形旋轉樓梯内力分析及機算[ J ].

清華大學學報 (自然科學版) , 2003, 43 ( 6) : 844 - 848.

[ 3 ] 何育忠. 螺旋樓梯的施工立模放線方法 [ J ]. 珠江水運, 2003 ( 11) : 42 - 43. [ 4 ] 陳維恒. 微分幾何 [M ]. 北京:北京大學出版社, 2006.

[ 5 ] 現代工程數學手冊編委會. 現代工程數學手冊

(第 I卷 ) [M ]. 武漢:華中工學院出版社, 1985.

[ 6 ] 張德豐. Matlab數值分析與應用[M ]. 北京:國防工業出版社, 2007.

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