如何求曲線的弧微分-tft每日頭條

如何求曲線的弧微分

生活更新时间:2025-01-08 16:30:37

平面曲線弧長是微積分學中的重要内容，它的推導很簡單，黎曼和加上你已有的數學基礎就可以理解，今天我們從切線的角度出發來分析下

首先回憶下教材的内容

假定f的圖形以(a,c)為起點，以(b,d)為終點，把它表示成如下圖的分割區間，以至于在其上的曲線弧近似是直的。

如何求曲線的弧微分（從切線鳍的角度分析平面曲線的弧長）1

逼近子區間上方的曲線弧的線段的長度是

如何求曲線的弧微分（從切線鳍的角度分析平面曲線的弧長）2

逼近整個曲線的長度是，

如何求曲線的弧微分（從切線鳍的角度分析平面曲線的弧長）3

嚴格的說要用對每個子區間上對于f應用中值定理，就把這個和改寫成為黎曼和（夥伴們你理解這句話是要表達什麼意思嗎？為什麼這裡會用到中值定理呢？）可以留言讨論

如何求曲線的弧微分（從切線鳍的角度分析平面曲線的弧長）4

如何求曲線的弧微分（從切線鳍的角度分析平面曲線的弧長）5

以上隻是教材上的基本闡述，大家都很熟悉，下面我們用切線鳍導出曲線弧長公式

假定f在(a,b)上式光滑的，以通常方式分割區間(a,b)，在光滑曲線每個點做切線鳍

如何求曲線的弧微分（從切線鳍的角度分析平面曲線的弧長）6

很明顯，在區間上第k個切線鳍的長度等于

如何求曲線的弧微分（從切線鳍的角度分析平面曲線的弧長）7

如何求曲線的弧微分（從切線鳍的角度分析平面曲線的弧長）8

很明顯上述是區間上的切線長度

在黎曼和的情況下就得到整體的曲線弧長

如何求曲線的弧微分（從切線鳍的角度分析平面曲線的弧長）9

如何求曲線的弧微分（從切線鳍的角度分析平面曲線的弧長）10

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