有時候會覺得高等數學的題目比高考的數學題還要簡單。那是因為高等數學有更多定理和知識做支持，而且一般的題目，這些定理和知識運用得還都是比較機械的。如果你也有這種感覺的話，那就一定要好好學一學這道運用拉格朗日中值定理的題目了，它可能會刷新你對拉格朗日中值定理的認知。

證明：若x>0, 則

(1)√(x 1)-√x=1/(2√(x θ(x)))，其中1/4<θ(x)<1/2；

(2)lim(x→0^ )θ(x)=1/4，(lim)(x→ ∞)θ(x)=1/2.

分析：高數問題構造輔助函數是最常用的方法之一。這道題構造的輔助函數相當簡單，就構造f(x)=√x，并求它的導數，得到f'(x)=/(√).

當x大于0時，函數在任意閉區間[x,x 1]上，都是符合拉格朗日中值定理的。

因此，√( )−√=/(√( ())), 0<θ(x)<1.

也就是兩個函數的函數差比自變量差，會等于對應開區間上的一個點的導數值，這裡自變量差剛好等于1。而這個點可以用x θ(x)來表示。根據拉格朗日中值定理，這裡的θ是在(0,1)上的。到這裡肯定有不少人就會犯迷糊了。式子倒是證明出來了，但條件不對啊。題目中θ(x)的值域明明是在(1/4,1/2)上的啊。那應該怎麼辦呢？

其實很簡單，而且直接，就是證明1/4<θ(x)<1/2，就可以了嘛。

由上式得到另一個等式：√( ())=√( ) √，就是兩邊都取倒數，原式左邊分子分母同乘以√( ) √，進行分母有理化，就變成這個式子右邊的形式了。

再兩邊同時平方，移項，化簡，可以得到θ(x)的一個表達式：θ(x)=1/4 (√(x(x 1))-x)/2。

所以拉格朗日中值定理中的θ，在可變區間上，其實是一個函數，而不是一個常數。這個函數在區間大小一定時，會随着區間左端點的變化而變化。也可以随着右端點的變化而變化。從這個函數的解析式就可以發現，θ(x)的值域大于1/4了。

将θ(x)的解析式中的分式，分子分母同乘以√(( ) ) ，化為：θ(x)=/ /((√(( ) ) )).

可以發現，後面的分式一定小于四分之一，所以θ(x)小于二分之一。關于上下界的确定，請自行理解，很容易的。

這就證明了1/4<θ(x)<1/2，從而得證。

下面我們來看一看θ(x)的圖像。這個圖像一開始吓了老黃一跳。中間怎麼空了一塊，原來是因為函數在(-1,0)上沒有定義。注意，這是函數本身的存在域，就這道題來說，它的定義域是在正區間的。

不論是存在域，還是定義域，第一個極限都隻能求右極限。代入x=0，就求得極限等于四分之一。

而求x趨于正無窮大的極限，最好把函數的形式化為根式在分母的情形。因為這樣才能直接得到極限等于二分之一。這是因為分子分母的最高次項相同，都是1次項，分子的一次項系數是1，分母的1次項系數是4，當x趨于無窮大時，根分式的極限就是四分之一，加上前面的四分之一，就等于二分之一。

通過這道題，我們可以知道，拉格朗日中值定理公式中的θ，不僅僅可以确定在(0,1)上，而且有可能确定在一個更小的區間上的。怎麼樣？這道題能讓你對拉格朗日中值定理有一個新的認識嗎？

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