一篇文章搞定矩陣

——第二篇 矩陣的性質以及抽象，特殊矩陣

大家都知道矩陣這一塊呢，題目中條件的出現很多都是符号語言。那麼從條件到問題之間的雙向奔赴，就需要我們掌握每一個“符号”所牽涉到的各種性質，下面就來詳細的羅列和解讀矩陣所涉及到的性質。

前面說過，矩陣就是一個數表，作為數，那麼就自然會有運算。矩陣的求和與求積運算是這裡最常見的運算（加減，乘除互為逆運算）。

一，矩陣的加法與數乘

先來分析矩陣的加法，兩個矩陣相加，這就要求二者必須是相同排列（形狀）的，不然的話會有元素多餘或者漏下。深層次來解釋原因如下：

兩個矩陣相加的結果實際上是兩個矩陣所代表的兩個線性集合組相加後得到的新線性集合組的系數（線性集合組如下圖）。如果兩個線性集合組x,y的個數，排布不相同的話，肯定是無法相加減。（矩陣的元素均為x系數而出現的），也可以看出：矩陣的加減的結果就是每一個對應的元素直接相加減後所得的結果。 按照這個思想，我們不難發現矩陣的數乘也很好分析，就是在集合組系數上同時乘以常數，就可以得到一個新的線性集合組，所以說數乘也是比較符合我們常規的認知的。

一言以蔽之，矩陣的加減就相當于數字的加減，矩陣的數乘就相當于數字的乘法，滿足交換，結合，分配三個定律。轉化為符号語言就是:A B=B A, k（A B）=kA kB

二，矩陣的乘法

首先說明，矩陣的乘法是抽象出來的一種運算，并不是真的有兩個線性集合組相乘。就像是一種新定義問題：記圖一系數數表為矩陣A，圖二系數數表為B，A乘以B的含義被賦予為，把B所代表的線性集合組代入到A所代表的中去，這也就解釋了為什麼矩陣的乘法不具有交換律的原因，把A式代入到B式中當然和把B式代入到A式中不同。

然後我們來分析以下代入所需要的條

件，首先必須得保證左邊有P個y項，右邊也有p個y項吧，這是很顯而易見的，那麼對應起來就是A中的列數等于B中的行數。而矩陣相乘所得到的結果是x對于z的線性集合組的系數。不難看出，最終的矩陣繼承了前式的行數和後式的列數。而在表面上我們看到的就知識以下的乘法法則：

如此看來，矩陣的乘法就不能滿足交換律了，隻能滿足雞肋的結合律和分配律。如下圖：

。

三，混合運算

這一塊算是解題最實用的性質了，利用表中的性質，我們可以放心的來代換，巧解題目。此處将性質悉心歸納，整理成表格（還不趕緊三連！！！）

大家可以看到，這裡有很多的不一定存在，但是不要不敢去操作，隻要我們掌握的夠多，見的世面夠廣，考試題就都是老朋友。下面來介紹幾個經典的條件與結論：

四，矩陣的秩

求矩陣的秩是一個常見和基礎的問題，一般有三種方法：分别是1.化階梯型法2.極大無關組法3.分塊陣初等變換法。這裡隻着重講一三種解法。

第一種，顧名思義，就是把原矩陣化成階梯型矩陣，如下圖所示：

和行化上三角行列式步驟相似，都是用第一行第一個數消去下方正對的所有數，接着第二行第二個數...直至最後一行，最終化成一個階梯型的矩陣，就可以得出結果。

第三種，利用分塊陣的初等變換求秩

說起分塊矩陣，實際上它和矩陣在運算上區别不大運算法則也相同，隻不過求轉置的時候記得把每一個小矩陣在轉置一下就可以了。而利用它來求秩，更多的是用不等式夾逼出來的，如下圖：

考試的題型留到下一篇文章裡講，下面介紹一下求矩陣的逆矩陣的兩種方法：

五，矩陣的逆

（一），初等行變換求逆矩陣

步驟非常簡單，隻需要在原矩陣右邊加上一個單位陣，而後把第二行乘以一個負的D分之B再加到第一行上去就能消去B，用同樣的方法也 可以消去C，最後每行同時除以常數使其變為E即可。

（二），分塊陣求逆矩陣

這個應用範圍變小了，但是更簡便了。它需要矩陣的一塊為零，然後分割成為分塊陣，然後直接套公式即可：

那本篇文章到這裡就結束了，矩陣這一塊比較重要，大家也能看到文章一篇比一篇長，總結比較費時間，還望各位老闆海涵。不過總結出來的絕對是妥妥的精華，下一篇将對矩陣下最後的宣戰書，詳細的列舉矩陣這一塊的題型，解題方法。

原創不易，還請多多鼓勵。thanks

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