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第161期 信号覆蓋問題

解答 | 君君數學

答案為至少需要4個圓覆蓋。

假設3個半徑500的圓可以覆蓋1000×1000的正方形，則A、B、C、D四點至少有2點被同一圓覆蓋，設為A、B（對角形長度大于1000，故不可能被同一圓覆蓋）。則AB是直徑，圓心為AB中點。其它3邊被剩餘2個圓所覆蓋，P、Q為AD内任意2點，因為P、Q、C三點被2圓覆蓋，至少有2點被同一圓覆蓋，又PC，QC都大于1000，所以隻能是PQ被同一圓覆蓋，進而推出AD被同一圓覆蓋。同理BC被另一個圓覆蓋，而AD=BC=1000，所以3圓位置隻能如上圖，CD無法被覆蓋，得出矛盾。根據上述推理，可以得出完全覆蓋需要4個圓。

（本答案摘自君君數學，ID：oair2046）

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題友解答精選◎題友 @小貓非貓的解答：

4個。顯然4個基站是可以的，每個基站置于廣場的一邊中央即可，因此關鍵在于證明3個基站無法全面覆蓋。采用反證法，假設某種方式可做到3基站全面覆蓋，則正方形中每一點均處于3個圓形的并集中。根據抽屜原則，正方形4頂點中，至少有2個頂點同處于1個圓中；另一方面由簡單的幾何原理易證，不可能出現3頂點同時處于1圓中的情形，因此必有一圓包含2頂點，顯然可知該圓直徑與正方形邊重合，2頂點（設為A、B）在圓周上。接下來，顯然對任意小的§，均存在點N位于正方形的邊上，使得N與A點距離AN小于§，而N不屬于圓形，因此易證其餘2圓必須包含A點（證明略）；B點同理。即表示，其餘2圓必須包含4頂點，因此每個圓均包含兩頂點，可知其均位于直徑與正方形邊重合的位置，即3個基站均分别位于正方形的不同邊的中點。作圖後顯然可知這種情況下無法全面覆蓋，因此3基站不成立。

◎題友 @老田的解答：

陳總的反證法甚妙，以下補充兩個拙證：（1）若要将正方形完全覆蓋，至少要将其四條邊（或四個頂點）覆蓋。題設中圓直徑與正方形邊相等，則當且僅當直徑和邊重合時能覆蓋整條邊，故要想覆蓋4條邊，至少需要4個圓；若此圓未完全覆蓋邊長，則其最多隻能包含一個正方形頂點，所以要想包含4個頂點，至少需要4個圓。 （2）若用三個等圓覆蓋，則圓直徑大于正方形邊長，從而可證原題中圓形不能用三個覆蓋。 顯然要三個能蓋住正方形的圓最小，須使其3個外圍交點位于正方形的邊或頂點上，否則圓的直徑仍可縮小。原題等價于在邊長為1000的正方形邊（頂點）上找一個正三角形，其邊長大于正方形邊長，結論是顯然的，因為直角三角形斜邊大于直角邊。當然也可以求出正三角形與正方形邊長比=(1-tan15°)*√(2)=（√6）-(√2)>1

◎題友 @彼岸炫的解答：

四個基站，三個基站滿足不了題意，總有一個點在外面，半徑500，最多包含兩個正方形頂點，如果包含一個正方形頂點則需要四個基站。答案，至少需要四個基站，四個基站的布局方式有很多種，其中一種為正方形四邊中點為圓心畫圓，每個圓過兩個點。還有一種是圓心在正方形對角線上，然後畫圓，過一個頂點，需要四個圓，四個基站。

◎題友 @Lin-匯豐的解答：

4個。由于無線基站覆蓋直徑與廣場邊長相等，所以每個基站至多覆蓋廣場的兩條邊，且都覆蓋不全；若完整覆蓋一條邊，則該基站不覆蓋到其他邊。由以上兩點推論易知使用3個基站不可能覆蓋完四條邊，即至少需要4個基站，此時方案有很多種，例如建在四條邊的中點即可。

本期問題來了

靈機一動

數學是思維的體操，很多數學問題的解答往往就閃現在你的靈機一動之中。本欄目精選數學中的好題、趣題，以及最能鍛煉數學思維的題呈現給大家，希望給你帶來思考的樂趣。

NO. 162

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