平面向量是大家非常熟悉的數學知識點之一，它不僅豐富了“數”的世界，更因其具有幾何形式和代數形式的“雙重性質”，這就讓向量在數學世界成為一個特殊存在，如在高中數學學習裡，向量可以成為很多知識内容闆塊之間的一個交彙點，成為多個知識闆塊之間的橋梁，如與平面解析幾何、數列等内容相互結合。

平面向量具有數與形相互結合的特殊性，因此，在解決跟平面向量相關的數學問題時候，都需要用到數形結合等思想，這從某種程度上提高了向量相關數學問題的靈活性和層次性、難度等等。如向量與平面解析幾何結合的數學問題，特别是有直線部分内容的問題，更加突出向量知識的重要性。

平面向量涉及到的知識點非常多，有平面向量的概念及其線性運算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的數量積與平面向量應用等等。

今天，我們就一起來講講平面向量的數量積與平面向量應用相關的知識内容和解題方法，希望對大家高考數學複習，能起到一定的幫助。

平面向量是在二維平面内既有方向又有大小的量，物理學中也稱作矢量，與之相對的是隻有大小、沒有方向的數量（标量）。

用數學語言來表示就是平面向量用a,b,c上面加一個小箭頭表示，也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示。

同時平面向量是處理其它問題的重要方法，通過将元素間的關系轉化為數量關系，将過去的形式邏輯證明轉化為數值計算，化繁難為簡易，是一種重要的解決問題的手段和方法。

什麼是兩個向量的夾角？

已知兩個非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．

向量夾角θ的範圍？

向量夾角θ的範圍是0°≤θ≤180°，a與b同向時，夾角θ＝0°；a與b反向時，夾角θ＝180°.

什麼是向量垂直？

如果向量a與b的夾角是90°，則a與b垂直，記作a⊥b.

求兩非零向量的夾角時要注意：

1、向量的數量積不滿足結合律；

2、數量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數量積小于0且兩向量不能共線時兩向量的夾角就是鈍角．

當a，b是非坐标形式時，求a與b的夾角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它們的關系。

典型例題分析1：

已知|a|＝4，|b|＝8，a與b的夾角是120°.

(1)計算：①|a＋b|，②|4a－2b|；

(2)當k為何值時，(a＋2b)⊥(ka－b)?

對兩向量夾角的理解：

1、兩向量的夾角是指當兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點不同，應通過移動，使其起點相同，再觀察夾角。

2、兩向量夾角的範圍為[0，π]，特别當兩向量共線且同向時，其夾角為0，共線且反向時，其夾角為π。

3、在利用向量的數量積求兩向量的夾角時，一定要注意兩向量夾角的範圍。

向量與其它知識結合形成的數學問題，一般題目都新穎而精巧，既符合考查知識的“交彙處”的命題要求，又加強了對雙基覆蓋面的考查，特别是通過向量坐标表示的運算，利用解決平行、垂直、夾角和距離等問題的同時，把問題轉化為新的函數、三角或幾何問題。

什麼是平面向量數量積？

已知兩個非零向量a與b，則數量|a||b|·cos θ叫做a與b的數量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a與b的夾角．

規定0·a＝0.

當a⊥b時，θ＝90°，這時a·b＝0.

平面向量數量積問題的類型及求法：

(1)已知向量a，b的模及夾角θ，利用公式a·b＝|a||b|·cos θ求解；

(2)已知向量a，b的坐标，利用數量積的坐标形式求解．

典型例題分析2：

向量運算與數量運算的區别：

1、若a，b∈R，且a·b＝0，則有a＝0或b＝0，但a·b＝0卻不能得出a＝0或b＝0；

2、若a，b，c∈R，且a≠0，則由ab＝ac可得b＝c，但由a·b＝a·c及a≠0卻不能推出b＝c；

3、若a，b，c∈R，則a(bc)＝(ab)c(結合律)成立，但對于向量a，b，c，而(a·b)·c與a·(b·c)一般是不相等的，向量的數量積是不滿足結合律的；

4、若a，b∈R，則|a·b|＝|a|·|b|，但對于向量a，b，卻有|a·b|≤|a||b|，等号當且僅當a∥b時成立。

高考數學對平面向量的考查，主要突出平面向量的性質和運算法則，向量的坐标表示及運算，更重要是與其他數學内容結合在一起，如可以和曲線、數列等基礎知識結合。這樣做的主要目的是在于考查邏輯推理和運算能力等綜合運用數學知識解決問題的能力。

希望大家在高考數學複習階段，認真學習數學，攻克每一個知識點，數學成績慢慢就會進步。

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