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13.5 曲面面積和曲面積分計算曲面積分的技巧是要将其轉換成平面區域的二重積分.
曲面面積
觀察下圖曲面 S 以及它的垂直投影.
将所有小平面分割近似所有的小區面, 這樣就構成了曲面 S , 因此其和式就是曲面 S 面積的一個近似, 而不斷的細分 R 後, 即為下面二重積分的近似.
觀察下面小切面近似曲面的動畫:
曲面積分(Surface Integrals)
即第一類曲面積分, 利用上面計算曲面面積的思想:
定向(Orientation)
稱光滑曲面 S 可定向或是雙側的.
下圖的莫比烏斯帶不是可定向的. 當一個單位法向量移動一圈後, n 的方向剛好與出發方向相反.
曲面積分求通量(Surface Integral for Flux)
也就是第二類曲面積分. 假設曲面 S 在 F 向量場中, n 為曲面某點處的單位法向量, 則 F 沿正向穿過曲面的通量為 F⋅n 在 S 上的積分.
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