從一道填空題聊引導學生思維

數學教學中，解題是非常重要的環節，學生解題能力的提升對于學業成績有極大的影響，而在培養學生解題能力的過程中，思維的引導必不可少。

我們不妨将學生的數學思維看作一棵小樹，當我們不斷用數學知識去澆灌的同時，也需要對其成長過程進行引導，防止其長偏，隻有堅持用正确的解題價值觀去影響，學生最終才能有最大收益。

以解數學題的過程為例，總體上分為讀題、構思、解答、驗證四個環節，讀題和構思這兩個環節往往也會合二為一，經過這個環節，題目信息輸入到學生大腦，再經過後一個環節處理，形成解題思維，然後在解答環節用規範的數學格式解答，最後驗證結果。在這個過程中，讀題階段的引導非常重要，在初中階段，教會學生讀題十分不易，信息攝入準确無誤，後面一系列解題環節才有可能正确進行下去，下面以一道無錫市中考填空題為例。

題目

如圖，□OABC的頂點A，C分别在直線x=1和x=4上，O為坐标原點，則對角線OB長的最小值為______________.

一、初讀現分歧

對于平行四邊形的性質，多數學生都非常熟悉，往往張口就來，平行四邊形對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分等，然而本題中到底需要用到其中的哪些，有待後續條件跟進；

點A，點C在直線x=1和x=4上，關于這個條件，學生們的理解是點A和點C的橫坐标是固定的，分别是1和4，理解到這個程度，暫時夠用，至于為什麼說暫時，下文分解；

O為坐标原點，這個條件最容易被忽視，它意味着點O是定點；

對角線OB長的最小值，這是關鍵條件，首先它說明了OB是對角線，其次OB的長度在不斷變化，并且還存在一個最小值；

第一種思路：由于x=1和x=4在圖中是一組平行線，并且分别經過點A和C，所以就有學生認為它們将平行四邊形分割成了兩個全等的三角形和一個新的平行四邊形，如下圖：

然後，就茫然了，出現了思維斷點；

第二種思路：

受“最小值”三個字的啟發，想走解析法的路子，畢竟這是在平面直角坐标系中，所以過點B向x軸作垂線，如下圖：

在Rt△OBH中，OB作為斜邊，理應可以用勾股定理表示出來，但設BH為x之後，OH沒辦法用含x的代數式表示……

然後又想到了設點A縱坐标為m，企圖表示出平行四邊形各點坐标，再利用兩點距離公式表示出OB的長，結果在表示點C縱坐标時就遇到了困難，畢竟點C的運動與點A的運動看上去沒什麼關聯，新增一個參數n，又沒辦法求最值，于是又陷入了“死胡同”；

第三種思路：

注意到了“對角線”三個字，于是想到了平行四邊形對角線互相平分，連接AC，與OB交于點G，如下圖：

找到了更多的全等三角形，并且OB=2OG，要求OB的最小值，隻要讓OG變得最小即可，那OG什麼時候最小呢？苦思良久，無以為繼；

二、“黑玉斷續膏”

以上三種思路都來自于未能在第一時間解答出來的學生，當然也有在短時間内迅速完成了的，本次采樣的多數學生屬于以上三類，他們的共同點是講過之後，一片嘩然，原來如此簡單，但在出示題目後的3分鐘内，并沒有成功找到思路，所以這些學生的思路如何“續傳”，比較有代表意義。

尤其是第三種思路的學生，已經很接近正确思路了，稍加點撥，便可奏效。

方法一：依然從動點本源分析，平行四邊形OABC的四個頂點中，隻有點O是定點，這一定要注意！其餘三個頂點為動點，但卻又有關聯，第二種思路的學生其實有一處看得比較準，便是動點“源頭”是點A和點C，他至少找對了一半，其實點A和點C的縱坐标壓根就沒關聯，這從題目中“頂點A，C分别在直線x=1和x=4上”就已經明示了，将這兩個點縱坐标分别設參，過于麻煩了。

然而第一、二種思路的學生，是可以引導到正确思路上的，發現了一對全等三角形，則點O到直線x=1的距離，等于點B到直線x=4的距離，利用全等三角形的對應高相等可證；

而直線x=1和x=4之間的距離是個定值3，如下圖：

上圖中這三段距離，不正好是第二種思路中Rt△OBH的那條直角邊OH嗎？對于Rt△OBH，斜邊大于直角邊，那OB什麼時候最小呢？當然是和直角邊OH重合時，于是得到正确的結果，OB最小值為5；

更進一步，這三段距離合起來，就是點B到y軸的距離，即點B始終距離y軸5個單位，在直線x=5上，這又歸于方法二的思路上了；

方法二：把第三種思路也“帶起飛”，由平行四邊形對角線互相平分，可得交點G，它是AC的中點，如下圖：

前面已經知道點A和點C的橫坐标分别是1和4，于是點G的橫坐标為2.5，即它在直線x=2.5上，此時留意到線段OG，端點O為定點，端點G在直線x=2.5上，于是聯想到點到直線的距離，定理“垂線段最短”派上用場了，當OG垂直于直線x=2.5時，即當點G在x軸上時，OG最短，此時OG=2.5，于是OB=5；

繼續探究，由于OB=2OG，既然點G在直線x=2.5上，那麼點B就一定在直線x=5上，這又與方法一後面的進一步結論吻合了，若分别過點G、B向x軸作垂線，又成了中位線構圖，正應了那句“殊途同歸”。

三、命題當如是

這是一道好題，在我看來，一道好題的标準是能啟發思考，不僅讓學生思考，更讓老師思考。

從學生角度，此題包含了平行四邊形性質、全等三角形性質、直角三角形性質、平行線間的距離、點到直線的距離、兩點距離、三角形中位線等知識點，事實上無論學生從已知條件中的哪個方面入手，最終都有可能勝利抵達終點，隻是難易程度不同而已。

從老師角度，此題考查幾何知識點較為開放，設置了多條思路供學生選擇，并且每一條路都有各自的精彩，以及相應的障礙，作為一道填空壓軸題，非常優秀！

自2020年宜昌中考數學新增填空題之後，對填空壓軸題的研究也排上日程，但是2020年的宜昌填空題，并不存在壓軸一說，隻是簡單将原先的選擇題改造成填空題，形似神不似，同時涉及到對數學概念的深度挖掘還不夠，這也是今後待改進的地方。

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